很好的題。
思路
首先分析條件。
我們需要滿足：\(s_1<s_2\) 等不等關係。
我們不想要處理複雜的不等關係，那麼我們可以轉化列舉的東西。
令 \(sf=s_1\times 2,sg=s_2-s_1\)。
相對應的，我們會有：\(nf,ng,uf,ug,kf,kg,ef,eg\)。
我們現在的問題就轉化為了：
\[\sum_{sf,sg,nf,ng,uf,ug,kf,kg,ef,eg}sg\times ng\times ug\times kg\times eg
\]
如何處理乘法，一個常見技巧是用分配律拆開，可以知道它的組合意義是每一段中選一個代表的東西。
考慮選一個代表的東西會是什麼影響。
你本來的一堆東西，相當於產生了一個分界處，所以它的方案與選兩堆是一樣的。
那麼我們可以再來審視一下這些條件了。
我們要把小於等於 \(n\) 個無標號小球放到 \(15\) 個有標號的盒子裡，可以為空，前 \(5\) 個盒子裡的小球數量要求是偶數個。
這個怎麼做呢？
首先，小於等於 \(n\) 個是好處理的。
我們只要再多加一個盒子來放其餘的小球就可以了。
偶數怎麼處理？
我們可以列舉有多少個奇數個球的盒子，由於除了前五個盒子裡必須要是偶數，後面十一個都可能是奇數。
其餘的就可以隔板法統計了。
另外最後的細節就是，\(sg,ng,ug,kg,eg\) 這 \(5\) 個盒子不能為空，這個就只需要在最開始把 \(n\) 減五就可以了。
式子是：
\[\sum_{i=0}^{11}[(n-i)\bmod 2=0]\binom{\frac{n-i}{2}+15}{15}\binom{11}i{}
\]
注意，\(n\) 是減了五的。
組合數暴力計算即可。
複雜度把上面看作常數就是 \(O(T)\) 的。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 1e9 + 7;
inline int power(int x, int y) {
int res = 1;
while (y) {
if (y & 1) res = res * x % mod;
x = x * x % mod, y /= 2;
}
return res;
}
inline int C(int n, int m) {
int res = 1;
for (int i = n; i > n - m; i--) res = res * i % mod;
for (int i = 1; i < m + 1; i++) res = res * power(i, mod - 2) % mod;
return res;
}
inline void solve() {
int n, ans = 0;
cin >> n, n -= 5;
for (int i = 0; i <= 11; i++) {
int m = n - i;
if (m < 0 || m & 1) continue;
(ans += C(m / 2 + 15, 15) * C(11, i)) %= mod;
}
cout << ans << "\n";
}
signed main() {
int t;
cin >> t;
while (t--) solve();
return 0;
}