NOIP2024集訓Day23 DP常見模型4 - 樹形
A. [CSP-S 2021] 括號序列
區間 dp，令 \(f_{l, r}\) 表示從位置 \(l\) 到位置 \(r\) 一共的合法序列總情況數量。
一共有六種不同的轉移情況，所以將 \(f_{l, r}\) 擴充到三維。
- 全是
* (...)(...)**(...)***，左邊以括號序列開頭，右邊以*結尾(...)**(...)**(...)，均以括號序列開頭和結尾（包含形態二）***(...)***(...)，左邊以*開頭，右邊以括號序列結尾***(...)**(...)***，左右均以*結尾（包含形態一）
轉移（序號對應上邊的形態）：
-
直接特判（暴力判斷兩端的距離是否 \(\le k\)，是的再轉移）
-
\(f_{l, r, 1} = (f_{l +1, r - 1, 0} + f_{l + 1, r - 1, 2} + f_{l + 1, r - 1, 3} + f_{l + 1, r - 1, 4}) \times \operatorname{check}(l, r)\)，其中 \(\operatorname{check}(l, r)\) 表示判斷 \(l\) 和 \(r\) 是否能匹配括號
-
\(f_{l, r, 2} = \sum\limits_{i = l}^{r -1} f_{l, i, 3} \times f_{i + 1, r, 0}\)
均以括號序列開頭和結尾是 3，右邊接一串
*，是 0。 -
\(f_{l, r, 3} = \sum\limits_{i = l}^{r - 1}(f_{l, i, 2} + f_{l, i, 3}) \times f_{i + 1, r, 1} + f_{l, r, 1}\)
左邊以括號序列開頭，結尾隨便，符合的有 2 和 3，右邊界一個括號序列，是 1，還要加上直接一個括號序列的。
-
\(f_{l, r, 4} = \sum\limits_{i = l}^{r - 1}(f_{l, i, 4} + f_{l, i, 5})\times f_{i + 1, r, 1}\)
左邊以
*開頭，結尾隨便，符合的有 4 和 5，右邊借一個括號序列，是 1。 -
\(f_{l, r, 5} = \sum\limits_{i = l}^{r - 1} f_{l, i, 4} \times f_{i + 1, r, 0} + f_{l, r, 0}\)
左邊以
*開頭，以括號序列結尾，符合的是 4，右邊接一串*，是 0，還要加上全是*的。
答案必須是以括號序列開頭，括號序列結尾，於是為 \(f_{1, n, 3}\)。
初始化：對於所有的 \(1\le i\le n\)，有 \(f_{i, i - 1, 0} = 1\)。
時間複雜度 \(\Theta(6\times n^3)\) 不到。