熟練剖分(tree) 樹形DP
題目描述
分析
我們設\(f[i][j]\)為以\(i\)為根節點的子樹中最壞時間複雜度小於等於\(j\)的概率
設\(g[i][j]\)為當前掃到的以\(i\)為父親節點的所有兒子最壞時間複雜度小於等於\(j\)的概率之和
因為每遍歷到一個新的節點，原來的\(g\)陣列中的值就要全部更新，因此我們壓掉第一維
下面我們考慮轉移
對於當前列舉到的某一個節點，我們用三重迴圈分別掃一邊
第一重迴圈代表當前哪一個節點充當重兒子，第二重迴圈列舉所有兒子，第三充迴圈列舉最壞時間複雜度\(k\)
如果第二重迴圈中列舉的兒子恰好是重兒子的話，那麼父親節點的最壞時間複雜度為\(k\)的情況可以由兩種情況轉移過來
第一種情況就是重兒子的時間複雜度恰好為\(k\)的概率乘上其它兒子時間複雜度小於等於\(k\)的概率
第二種情況就是其它兒子的時間複雜度恰好為\(k\)的概率乘上重兒子的時間複雜度小於等於\(k\)的概率
不要忘了減去重複的情況
如果第二重迴圈中列舉的兒子不是重兒子的話，那麼父親節點的最壞時間複雜度為\(k\)的情況可以由兩種情況轉移過來
第一種情況就是重兒子的時間複雜度恰好為\(k-1\)的概率乘上其它兒子時間複雜度小於等於\(k\)的概率
第二種情況就是其它兒子的時間複雜度恰好為\(k\)的概率乘上重兒子的時間複雜度小於等於\(k-1\)的概率
也不要忘了減去重複的情況
程式碼
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
inline int read(){
int x=0,fh=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){
if(ch=='-') fh=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*fh;
}
const int maxn=3e3+5;
const int mod=1e9+7;
int fa[maxn],head[maxn],tot=1,n,rt;
struct asd{
int to,next;
}b[maxn<<1];
void ad(int aa,int bb){
b[tot].to=bb;
b[tot].next=head[aa];
head[aa]=tot++;
}
int ksm(int ds,int zs){
int ans=1;
while(zs){
if(zs&1) ans=1LL*ans*ds%mod;
ds=1LL*ds*ds%mod;
zs>>=1;
}
return ans;
}
int son[maxn],siz[maxn];
long long f[maxn][maxn],g[maxn],h[maxn];
void dfs(int now){
siz[now]=1;
for(int i=head[now];i!=-1;i=b[i].next){
int u=b[i].to;
if(u==fa[now]) continue;
dfs(u);
siz[now]+=siz[u];
}
int p=ksm(son[now],mod-2);
for(int i=head[now];i!=-1;i=b[i].next){
if(b[i].to==fa[now]) continue;
for(int j=0;j<=n;j++) g[j]=1;
//初始化g陣列
int zez=b[i].to;
//列舉重兒子
for(int j=head[now];j!=-1;j=b[j].next){
if(b[j].to==fa[now]) continue;
int qez=b[j].to;
//列舉其它兒子
for(int k=0;k<=siz[qez]+1;k++){
//列舉最大時間複雜度
long long qt=g[k],xz=f[qez][k];
if(k) qt-=g[k-1],xz-=f[qez][k-1];
if(zez==qez){
h[k]=(qt*f[qez][k]%mod+xz*g[k]%mod-xz*qt%mod+mod)%mod;
} else {
xz=f[qez][k-1];
if(k>1) xz-=f[qez][k-2];
h[k]=(qt*f[qez][k-1]%mod+xz*g[k]%mod-xz*qt%mod+mod)%mod;
}
}
g[0]=h[0],h[0]=0;
for(int k=1;k<=siz[qez]+1;k++){
g[k]=(g[k-1]+h[k])%mod;
h[k]=0;
}
//h陣列臨時儲存狀態
}
for(int j=siz[now];j>=1;j--){
g[j]=(g[j]-g[j-1]+mod)%mod;
//將字首和陣列還原成正常陣列
}
for(int j=0;j<=siz[now];j++){
f[now][j]=(f[now][j]+g[j]*p%mod)%mod;
}
}
if(son[now]==0) f[now][0]=1;
for(int i=1;i<=siz[now]+1;i++){
f[now][i]=(f[now][i]+f[now][i-1])%mod;
}
}
int main(){
memset(head,-1,sizeof(head));
n=read();
int aa;
for(int i=1;i<=n;i++){
son[i]=read();
for(int j=1;j<=son[i];j++){
aa=read(),fa[aa]=i;
ad(i,aa),ad(aa,i);
}
}
rt=1;
while(fa[rt]) rt=fa[rt];
dfs(rt);
long long ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=(ans+i*(f[rt][i]-f[rt][i-1]+mod)%mod)%mod;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}