歸併排序的經典-求逆序對

本來今天poj崩掉了，並且求逆序對也是個很簡單的問題，羅黑上的分治的題也都刷完了（其實難得一見上羅黑的練習題上的簡單題目），東哥的題又刷不動，打算今天就到這了

但是一想到以前也沒有總結過逆序對的求法，寫完這個總結在做一道每日一題就休息了；

先認識一下什麼是逆序對，舉一個例子：

 

上述寫的夠清楚了吧（電腦寫字很爛，見諒）

歸併排序我相信不用多介紹了吧？都相信已經學了，算了，要不概括一下歸併排序的核心吧：

歸併排序的核心其實就是先將每個元素初始化為子集，兩兩子集合並，實現內部排序，一直這樣處理知道最後剩下一個集合

稍微說一下合併：

要歸併兩個有序的子序列

例如我們要歸併a[]={13,94,99},{34，56}這兩個子序列

 

 將i,j分別指向子序列的第一個數，進行一次比較發現a[i]<a[j]，則將a[i]放在輔助陣列b中，經過四次比較

最終可得b[]={13,34,56,94,99}

第二次比較

 

 第三次比較

 

 第四次比較

 

 具體來看題目：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4911

題目大意：

給定一個陣列，交換相鄰任意兩個元素，且不超過k次，求最少的逆序對有多少？

題目分析：當k=0的時候即求原始陣列中有多少對逆序對，並且在每次合併中，如果子序列內部是有序的則不存在逆序對；

在合併兩個子序列時，若前子序列的元素大於後子序列的元素則產生逆序對，像上面四次合併，並且在每次合併的時候，可能出現不止一對逆序對，

例如在第二次合併的時候，就出現了{34，96}，{34，99}兩對逆序對

那分別討論原始陣列中的逆序對cnt，若cnt<=k則說明不夠交換k次，即最少逆序對為0對

若cnt>k則說明k次交換都發生在逆序的相鄰元素上，則有最少cnt-k對

解題思路：分治法，歸併排序

難度評價：易

參考程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define IOS ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
const int N=1e5+10;
int a[N];
int b[N];
int cnt;
int n,k;
void Merge(int L,int mid,int R)
{
    //歸併
    int i=L;
    int j=mid+1;
    int t=0;
    while(i<=mid&&j<=R)
    {
        if(a[i]>a[j])
        {
            b[t++]=a[j++];
            cnt+=mid-i+1;//出現逆序對
        }
        else
            b[t++]=a[i++];
    }
    //檢查
    //一個子序列中的數都處理完了，另一個還沒有，把剩下的複製過來
    while(i<=mid)
        b[t++]=a[i++];
        while(j<=R)
            b[t++]=a[j++];
        //陣列拷貝
        for(int i=0;i<t;i++)
            a[L+i]=b[i];
}
void mergesort(int low,int high)
{
    if(low<high)
    {
        int mid=(low+high)/2;
        //分
        mergesort(low,mid);
        mergesort(mid+1,high);
        //治
        Merge(low,mid,high);
    }
}
signed main()
{
    IOS;
    while(cin>>n>>k)
    {
        cnt=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            cin>>a[i];
        }
        mergesort(0,n-1);
        if(cnt<=k)
            cout<<0<<endl;
        else
            cout<<cnt-k<<endl;
    }
}