ARC182B |{floor(A_i/2^k)}| 題解

Sorato發表於2024-08-13

ARC182B |{floor(A_i/2^k)}| 題解

題目大意

定義一個長度為 \(N\) 的序列 \(A\) 的分數為 能被表示成 \(\lfloor {A_i\over2^k}\rfloor\) 的數的個數，其中 \(i=1,2,\dots,N\)，\(k\) 為任意自然數。

給定 \(N,K\)，求長度為 \(N\) 且元素大小都在 \(2^K-1\) 內的所有序列的分數的最大值，輸出任意擁有最大分數的序列。

Solve

除以 \(k\) 下取整相當於二進位制下右移 \(k\) 位，所以按位考慮。

顯然有效位數越多越好，因為有效位數多的右移 \(k\) 位得到的數也更多。比如 \((101010)_2\) 右移得到的數是包含 \((01010)_2\) 能得到的數的。

所以序列中的數二進位制下第 \(K-1\) 位一定是 \(1\)，接下來我們考慮怎麼構造能使右移得到的不同的數更多。這裡有一種構造方法：

1 0 0 0 ...
1 1 0 0 ...
1 0 1 0 ...
1 1 1 0 ...
1 0 0 1 ...
1 1 0 1 ...
1 0 1 1 ...
1 0 1 1 ...
1 0 0 0 ...
1 1 0 0 ...
1 0 1 0 ...
1 1 1 0 ...
...

即二進位制位儘量交錯著填，保證每一種情況都被考慮，比如第 \(K-4\) 位上填 \(0\) 的數中，第 \(K-2,K-3\) 位上填 \(1\) 或 \(0\) 的所有 \(4\) 種情況都被考慮到。

如此，我們能保證右移任意 \(k\) 位得到的數的個數都是卡滿的。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
	short f=1;
	int x=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')	{if(c=='-')	f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')	x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x*f;
}
const int N=1e5+10;
int T,n,m,a[N];
signed main()
{
	T=read();
	while(T--)
	{
		n=read();m=read();
		for(int i=1;i<=n;i=-~i)	a[i]=1<<m-1;
		for(int i=m-2;i>=0;i--)
		{
			bool f=0;
			for(int j=1;j<=n;j+=(1<<m-2-i),f^=1)
				for(int k=j;k<=min(j+(1<<m-2-i)-1,n);k=-~k)
					a[k]+=f<<i;
		}
		for(int i=1;i<=n;i=-~i)	printf("%d ",a[i]);
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}

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