個人難度順序：A < D < B < C < E。
A. Find K Distinct Points with Fixed Center
如果 \(k\) 是偶數，構造 \((x_c + i, yc + i)\)，其中 \(- \frac{k}{2} \le i \le \frac{k}{2}\)。
對於 \(k\) 是奇數，先加一個點 \((xc, yc)\)，然後就變成偶數的情況了。
B. Minimize Equal Sum Subarrays
先猜只有 \([1, n]\) 的和相等。
做字首和，問題就變成了 \(sump_{r} - sump_{l} \neq sumq_{r} - sumq_{l}\)。
移項可得 \(sump_{r} - sumq_{r} \neq sump_{l} - sump_{l}\)。
這就是在說，對於 \(i \neq n\)，\(\Delta_i = sumq_i - sump_i\) 互不相等。
然後列舉構造方式，發現可以構造 \(q_i = p_i \bmod n + 1\)。
不難發現，如果 \(p_i < n\)，則 \(\Delta_i = \Delta_{i - 1} + 1\)；如果 \(p_i = n\)，則 \(\Delta_i = \Delta_{i - 1} - (n - 1)\)。
觀察到只有 \(\Delta_0 = \Delta_n = 0\)，所以這個構造是對的。
C. Perform Operations to Maximize Score
只會沒有腦子的做法。
首先發現，讓中位數增大的代價一定不比讓 \(a_i\) 增大的代價小。
所以說對於 \(b_i = 1\) 的 \(i\)，我們一定是讓 \(a_i\) 變為 \(a_i + k\)，貢獻為 \(a_{i} + k + \operatorname{median}(c_i)\)，刪掉一個數是 \(median\) 的排名變化是 \(O(1)\) 的，可以暴力。
對於 \(b_i = 0\) 的 \(i\)，我們要讓 \(\operatorname{median}(c_i)\) 儘可能大。
考慮如果只有一個 \(b_i = 0\)。
求中位數我們會二分一個 \(mid\)，將 \(a_i \le mid\) 的位置標記為 0，其餘位置標記為 1。
如果 0 的數量小於中位數的排名，就說明 \(\operatorname{median}(c_i) > mid\)，所以我們的目標是讓 0 的數量儘可能少。
這一步可以貪心去做，就是將每個位置按從 0 變 1 的代價從小到大排序，然後從前往後取，知道代價大於 \(k\)。
這樣就完成了 check，可以透過先從大到小排序將 check 最佳化到 \(O(n)\)。
現在我們有很多個 \(b_i = 0\)，考慮整體二分。
發現 \(b_i = 0\) 的位置並不能是 0 的個數改變，所以 check 和上面是一樣的。
然後就做完了。
時間複雜度 \(O(n \log V)\)。
D. Determine Winning Islands in Race
如果 Elsie 能一步跨過 Bessie 走過的路，那麼他就贏了，也就是說只有額外邊能決定勝負。
所以先求出從 1 到每個點 \(u\) 的距離 \(dis_u\)，然後列舉每條額外邊 \((u, v)\)。
發現如果 \((u, v)\) 這條邊只能讓 Elsie 在 \((u, v - dis_u - 1)\) 這幾個點贏。
求答案的話就差分一下，時間複雜度 \(O(n)\)。
E1. Eliminating Balls With Merging (Easy Version)
只會笨蛋做法。
首先你會暴力，就是列舉每個位置 \(i\)，維護它能吸收的區間 \([l, r]\)，然後 \(l\) 和 \(r\) 分別往兩邊擴。
但你仔細想想，如果你跨過了一個原本不能跨過的位置，那麼 \(a_i\) 一定是翻倍的，所以只會擴充套件 \(O(\log V)\) 次，每次擴充套件可以透過 ST 表+二分實現。
時間複雜度 \(O(n \log n \log V)\)。
E2. Eliminating Balls With Merging (Hard Version)
考慮在上一個題的基礎上分別求出 \(l\) 擴充套件到 1 時 \(r\) 能擴充套件的最大位置和最小位置，這樣做個字首和就好了。
時間複雜度 \(O(n \log n \log V)\)。
是 P9530 [JOISC2022] 魚 2 的超級弱化版。