Leetcode 題解系列 -- 和為s的連續正數序列（滑動視窗）

安歌發表於2022-02-16
LeetCode

休了個不短不長的年假，題解系列繼續開工~

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本專題旨在分享刷Leecode過程發現的一些思路有趣或者有價值的題目。

題目相關

  • 原題地址: https://leetcode-cn.com/problems/he-wei-sde-lian-xu-zheng-shu-xu-lie-lcof/]

  • 題目描述：

    輸入一個正整數 target ，輸出所有和為 target 的連續正整數序列（至少含有兩個數）。序列內的數字由小到大排列，不同序列按照首個數字從小到大排列。

    • 示例 1：
      輸入：target = 9
      輸出：[[2,3,4],[4,5]]
    • 示例 2：
      輸入：target = 15
      輸出：[[1,2,3,4,5],[4,5,6],[7,8]]
      限制：1 <= target <= 10^5

    思路解析

暴力破解

題目的含義比較清晰，需要求出和為特定值的 連續正整數序列。

首先，這道題的很直接的也會想到一個 -- 暴力破解:

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具體思路：

  • 首先尋找是否存在滿足要求的，以1為開頭的序列，所以初始化一個序列為 [ 1 ]

  • 依次往序列裡新增連續的正整數，讓序列變成 [1, 2, 3..i. target]， 並且每次新增完一個整數時，對比當前序列所有整數之和sum，與目標值target的關係：

    • 如果sum < target，則繼續往序列裡新增下一個數；
    • 如果已經滿足sum = target，那麼儲存當前序列，並且說明以1開始的序列尋找可以停止了；
    • 如果直接到sum > target，那麼說明以1開始的序列尋找可以停止了（不存在以1為開頭並且滿足要求的序列）；
  • 重複上述步驟，分別尋找以2，3, ... target開頭且滿足題意的序列；

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上面這種思路的話 最壞的情況下，需要外層迴圈（外層迴圈也就是遍歷以1..n開頭的序列）n次，內層迴圈n次（內層迴圈就是尋找當前開頭固定時，不同結尾的序列），那麼總的複雜度就是O(n^2)，由於 1 <= target <= 10^5 , 所以O(n^2)明顯超時;

紅色區域表示序列，它的左邊界和右邊界有個特點，都只向右側移動，而整個遍歷的過程，其實就像是一個推拉窗的移動過程，這個演算法也就由此得名。

滑動視窗

從上述過程可以看到，暴力破解的問題在於時間複雜度太高，而之所以高，是因為在遍歷過程存在一些可以跳過的過程, 為了便於理解，我們帶入一個題設中的示例1，target = 9的情況來進行演示。按照暴力破解思路：

  • 首先序列為 [1] , 序列之和 sum = 1 , 1 < 9 繼續迴圈;
  • 序列為 [1, 2] , 序列之和 sum = 3 , 3 < 9 繼續迴圈;
  • 序列為 [1, 2，3] , 序列之和 sum = 6 , 6 < 9 繼續迴圈;
  • 序列為 [1, 2, 3 ,4] , 序列之和 sum = 12 , 12 > 9 ,那 Stop!;
    到此說明不存在以1為開頭切滿足要求的序列，那麼按照前面的思路，接下來是要尋找以2開頭且滿足題意的序列，那麼現在問題來了：

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我們真的有必要從[2]開始嗎？ 在找以1開頭的序列時，我們已經發現[1,2,3]之和都小於target了，那序列[2,3]之和肯定也小於9，那為什麼還要按部就班的，先走一次[2]再到[2,3] 再到[2,3,4]呢？

這，就是突破的關鍵！

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所以我們發現，再找完以i開頭的序列之後，跳到尋找以i+1開頭的序列時，是可以跳過一些中間遍歷次數的，可以這麼做:

  • 序列為 [1, 2, 3 ,4] , 序列之和 sum = 12， 12 < 9 ，此時要停止尋找以1為開頭的序列，那麼我們直接去掉序列左邊的值，從[2,3,4]開始尋找以2開頭的序列；
  • 按照規則，[2, 3 ,4] 之和剛好為9，此時儲存當前序列結果，並且停止尋找以2為開頭切滿足要求的序列，接下來準備尋找3開頭的序列，我們同樣去掉此時序列的最左邊值, 從[3, 4]開始運算；

重複上述過程， 會發現，在遍歷過程中，我們的序列如下圖所示（懶得做動圖了，分開看更有利於理解）:
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紅色區域表示序列，它的左邊界和右邊界有個特點，都只向右側移動，而整個遍歷的過程，其實就像是一個推拉窗的移動過程，這個演算法也就由此得名。

當然，要使用上面的演算法，我們要回答一個問題：相較於暴力破解，滑動視窗確實減少了迴圈次數，但是滑動視窗能否找到所有的解呢？（也就是在上述的跳躍過程導致遺漏呢？）

這個是可以證明的，因為按照前文的遍歷思路：

  • 尋找1開頭的序列時，只要序列之和小於target，則視窗右邊界一直往右擴充，直到找到[1,2,3]時，此時序列值之和還是小於target; 而到[1,2,3,4]時，此時序列之和第一次大於target，說明以1開頭的序列尋找結束;
  • 那麼此時以2開頭的序列 [2,3] < [1,2,3] < target， 說明只需要從[2,3,4]開始尋找就可以了，（讀者朋友也可以拿示例2帶入試試看，加深理解）以此類推，說明滑動視窗的演算法是不會有遺漏的。

完整程式碼

到這裡只需要整理前面的思路，虛擬碼也就出來了：

  • 初始化，設定序列視窗的左右邊界，分別為 1,2 ，然後開始迴圈；
  • 迴圈，當序列內之和小於target時，右邊界右移；
  • 迴圈過程如果發現序列值和等於target，則儲存當前序列，並且把左邊界右移；
  • 迴圈過程如果發現序列值和大於target，則把左邊界右移；
  • 當左邊界追上右邊界時，迴圈結束（可以思考下為什麼？）

那麼實際程式碼如下：

var findContinuousSequence = function(target) {
  const res = [];
  const sum = [0, 1];
  let l = 1; // 左邊界
  let r = 2; // 右邊界
  let s = 3; // 當前序列之和sum
  while(l < r){
      if(s === target) {
          // 滿足題意的序列新增到結果
          res.push(getList(l, r));
      }

      if(s > target) {
          s = s - l;
          l++;
      } else {
          r++;
          s += r; 
      }
  }
  return res;
};

function getList (l, r) {
  const res = [];
  for(let i = l; i<=r; i++) {
      res.push(i)
  }
  return res;
}

那麼滑動視窗的內容就到此為止了~
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