板子
- 對頂堆
template<class T>
struct DualHeap {
Heap<T, std::greater<T>> small; // 小根堆，裡面存放大的值
Heap<T, std::less<T>> big; // 大根堆，裡面存放前k小的值
//中位數就是big.top()
DualHeap() {}
void update() {
if (big.size() == 0 and small.size() == 0) {
return;
}
while (big.size() > small.size() + 1) {
T x = big.top();
big.pop();
small.push(x);
}
while (big.size() < small.size()) {
T x = small.top();
small.pop();
big.push(x);
}
}
void push(T val) {
if (big.size() == 0) {
big.push(val);
return;
}
if (val <= big.top()) {
big.push(val);
} else {
small.push(val);
}
update();
}
void erase(T val) {
assert(big.size() >= 1);
if (val <= big.top()) {
big.erase(val);
} else {
small.erase(val);
}
update();
}
};
- 可刪堆
template <class T, class Cmp = std::less<T>>
struct Heap {//可刪堆
std::priority_queue<T, std::vector<T>, Cmp> qPush, qErase; // Heap=qPush-qErase
i64 sum;
Heap() : sum{0} {}
void push(T x) {
qPush.push(x);
}
void erase(T x) {
qErase.push(x);
}
T top() {
while (!qErase.empty() && qPush.top() == qErase.top())
qPush.pop(), qErase.pop();
return qPush.top();
}
void pop() {
while (!qErase.empty() && qPush.top() == qErase.top()) {
qPush.pop(), qErase.pop();
}
qPush.pop();
}
int size() {
return qPush.size() - qErase.size();
}
};
滑動視窗中位數
https://codeforces.com/gym/104901/problem/K
選區間內一個數，讓區間內每個數到這個數的距離之和最小，動態維護這個距離之和
首先一個經典結論，這個數就是中位數。
那麼問題轉化成：滑動視窗維護區間每個數到中位數的距離之和 \(ans\)。
顯然，ans 是所有比中位數 \(mid\) 與每個比中位數小的數 \(less\) 的差加上每個比中位數大的數 \(large\) 與中位數的差，也就是
\[ans = cnt_{less}\times mid - sum_{less} + sum_{large} - cnt_{large}\times mid
\]
那麼我們就是要維護三個資訊：
\(less, large, mid\)
這很像對頂堆，less和large的相關資訊都完全可以對應上其中的大根堆和小根堆
單純的對頂堆，是不支援刪除的。
想要維護滑動視窗的中位數，就得結合可刪堆。
直接從應用入手，把兩個對頂堆改成可刪堆其中即可，而對 sum 的動態維護則在可刪堆的 push，pop，erase 操作中實現即可，非常直觀。
template <class T, class Cmp = std::less<T>>
struct Heap {//可刪堆
std::priority_queue<T, std::vector<T>, Cmp> qPush, qErase; // Heap=qPush-qErase
i64 sum;//維護出這個堆對應的sum
Heap() : sum{0} {}
void push(T x) {//加入的同時更新sum
sum += x;
qPush.push(x);
}
void erase(T x) {//刪除的同時更新sum
sum -= x;
qErase.push(x);
}
T top() {
while (!qErase.empty() && qPush.top() == qErase.top())
qPush.pop(), qErase.pop();
return qPush.top();
}
void pop() {//一樣，更新sum
while (!qErase.empty() && qPush.top() == qErase.top()) {
qPush.pop(), qErase.pop();
}
sum -= qPush.top();
qPush.pop();
}
int size() {//真實的個數也可以透過可刪堆維護出來
return qPush.size() - qErase.size();
}
};
template<class T>
struct DualHeap {//結合可刪堆，形成可刪對頂堆
Heap<T, std::greater<T>> small; // small root
Heap<T, std::less<T>> big; // big root
DualHeap() {}
void update() {
if (big.size() == 0 and small.size() == 0) {
return;
}
while (big.size() > small.size() + 1) {
T x = big.top();
big.pop();
small.push(x);
}
while (big.size() < small.size()) {
T x = small.top();
small.pop();
big.push(x);
}
}
void push(T val) {
if (big.size() == 0) {
big.push(val);
return;
}
if (val <= big.top()) {
big.push(val);
} else {
small.push(val);
}
update();
}
void erase(T val) {
assert(big.size() >= 1);
if (val <= big.top()) {
big.erase(val);
} else {
small.erase(val);
}
update();
}
i64 getResult() {
if (big.size() == 0) {return 0;}//說明只有一個數
int x{big.top()};
i64 ans1 = 1LL * x * big.size() - big.sum;//比中位數小的數的貢獻
i64 ans2 = small.sum - 1LL * x * small.size();//比中位數大的數的貢獻
return ans1 + ans2;
}
};
void solve()
{
#define tests
int n; i64 k; std::cin >> n >> k; std::vector<int> a(n); for (auto& ai : a) {std::cin >> ai; --ai;}
for (int i = 0; i < n; i++) {a[i] -= i;}
DualHeap<int> dheap; int ans{}; for (int l = 0, r = 0; r < n; r++) {//這題固定右指標，移動左指標更方便
dheap.push(a[r]);
while (l <= r and dheap.getResult() > k) {//如果不滿足條件，就繼續移動左指標
dheap.erase(a[l]);
l += 1;
}
ans = std::max(ans, r - l + 1);
}
std::cout << ans << '\n';
}