[每日一題] 第二十六題：滑動視窗的最大值

給定一個陣列 nums 和滑動視窗的大小 k，請找出所有滑動視窗裡的最大值。

示例:

輸入: nums = [1,3,-1,-3,5,3,6,7], 和 k = 3
輸出: [3,3,5,5,6,7] 
解釋: 

  滑動視窗的位置                最大值
---------------               -----
[1  3  -1] -3  5  3  6  7       3
 1 [3  -1  -3] 5  3  6  7       3
 1  3 [-1  -3  5] 3  6  7       5
 1  3  -1 [-3  5  3] 6  7       5
 1  3  -1  -3 [5  3  6] 7       6
 1  3  -1  -3  5 [3  6  7]      7

提示：

你可以假設 k 總是有效的，在輸入陣列不為空的情況下，1 ≤ k ≤ 輸入陣列的大小。

方法一：單調佇列

解題思路：

設視窗區間為 [i,j]，最大值為 Xj。當視窗向前移動一格，則區間變為 [i+1，j+1]，即新增了 nums[j+1]，刪除了 nums[i]。

若只向視窗 [i，j] 右邊新增數字 nums[j+1]，則新視窗最大值可以 通過一次對比 使用 O(1) 時間得到，即：X j+1 = max(Xj，nums[j+1])

注：j+1 為下標，下同。

而由於刪除的 nums[i] 可能恰好是視窗內唯一的最大值 Xj，因此不能通過以上方法計算 X j+1，而必須使用 O(j-i) 時間，遍歷整個視窗區間 獲取最大值，即：X j-1 = max(nums[i+1]，……，nums[j+1])

根據以上分析，可得 暴力法 的時間複雜度為 O(n-k+1)k)，約等於 O(nk)。

設陣列 nums 的長度為 n，則共有（n-k+1）個視窗。
獲取每個視窗最大值需線性遍歷，時間複雜度為 O(k)。

[每日一題] 第二十六題：滑動視窗的最大值

本題難點：如何在每次視窗滑動後，將“獲取視窗內最大值”的時間複雜度從 O(k) 降低至 O(1)。

可以使用 單調棧 實現隨意入棧，出棧情況下的 O(1) 時間獲取“棧內最小值”。

視窗對應的資料結構為 雙端佇列，本題使用 單調佇列 即可解決以上問題。遍歷陣列時，每輪保證單調佇列 deque：

deque 內 僅包含視窗內的元素 => 每輪視窗滑動移除了元素 nums[i-1]，需要將 deque 內的對應元素一起刪除。
deque 內的元素 非嚴格遞減 => 每輪視窗滑動新增了元素 nums[j+1]，需要將 deque 內所有 < nums[j+1] 的元素刪除。

演算法流程：

初始化：雙端佇列 deque，結果列表 res，陣列長度 n；
滑動視窗：左邊界範圍 i 屬於 [1-k，n+1-k]，右邊界範圍 j 屬於 [0，n-1]；
1. 若 i > 0 且隊首元素 deque[0] = 被刪除元素 nums[i-1]：則隊首元素出隊；
2. 刪除 deque 內所有 < nums[j] 的元素，以保持 deque 遞減；
3. 將 nums[j] 新增至 deque 尾部；
4. 若已形成視窗（即 i >= 0)：將視窗最大值（即隊首元素 deque[0]）新增至列表 res。
返回值：返回結果列表 res。

程式碼

class Solution {
    public int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
        if(nums.length == 0 || k == 0) return new int[0];
        Deque<Integer> deque = new LinkedList<>();
        int[] res = new int[nums.length - k + 1];
        for(int j = 0, i = 1 - k; j < nums.length; i++, j++) {
            if(i > 0 && deque.peekFirst() == nums[i - 1])
                deque.removeFirst(); // 刪除 deque 中對應的 nums[i-1]
            while(!deque.isEmpty() && deque.peekLast() < nums[j])
                deque.removeLast(); // 保持 deque 遞減
            deque.addLast(nums[j]);
            if(i >= 0)
                res[i] = deque.peekFirst();  // 記錄視窗最大值
        }
        return res;
    }
}

可以將 “未形成視窗”和“形成視窗後”兩個階段拆分到兩個迴圈裡實現。程式碼雖變長，但減少了冗餘的判斷操作。

class Solution {
    public int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
        if(nums.length == 0 || k == 0) return new int[0];
        Deque<Integer> deque = new LinkedList<>();
        int[] res = new int[nums.length - k + 1];
        for(int i = 0; i < k; i++) { // 未形成視窗
            while(!deque.isEmpty() && deque.peekLast() < nums[i])
                deque.removeLast();
            deque.addLast(nums[i]);
        }
        res[0] = deque.peekFirst();
        for(int i = k; i < nums.length; i++) { // 形成視窗後
            if(deque.peekFirst() == nums[i - k])
                deque.removeFirst();
            while(!deque.isEmpty() && deque.peekLast() < nums[i])
                deque.removeLast();
            deque.addLast(nums[i]);
            res[i - k + 1] = deque.peekFirst();
        }
        return res;
    }
}

複雜度分析

時間複雜度O(N) ：其中 n 為陣列 nums 長度；線性遍歷 nums 佔用 O(N)；每個元素最多僅入隊和出隊一次，因此單調佇列 deque 佔用 O(2N)。
空間複雜度 O(k) ：雙端佇列 deque 最多同時儲存 k 個元素（即視窗大小）。

個人理解

Queue 是佇列，只能一頭進，另一頭出。而 Deque 允許兩頭都進，兩頭都出，叫做雙端佇列（Double Ended Queue）。
peekFirst 方法是取隊首元素但不刪除，peekLast 方法是取隊尾元素但不刪除。
removeLast 方法是取隊首元素並刪除。
addLast 方法是新增元素到隊尾。
需要刪除佇列內所有小於 nums[i] 的元素，所以是一個 while 迴圈。
為什麼這樣做可以實現呢？ 我們來舉一個小栗子。
1. 首先未形成視窗的時候我們應該可以理解，將數字一個一個放入佇列中，然後比較。這個時候佇列中的資料是什麼呢？其實是一個非嚴格遞減的佇列。為什麼這麼說呢，我們看一下未形成視窗時的程式碼，他是比較當前元素和佇列尾部中的最後一個元素的大小，如果小的話，將他移除，直到比較到第一個。所以這個佇列是從尾部插入，從頭部彈出的一個非嚴格遞減的雙端佇列。
2. 為什麼要這麼存資料呢？因為我們要實現的是獲取視窗最大值的時間複雜度為 O(1)。那麼會遇到一個這麼個問題，如果當前視窗的最大值恰好是視窗的最左邊的元素，當視窗向右移動的時候，最左邊的值就會被刪除，我們其實不知道剩下的幾個元素中最大的值是什麼。使用了上述方法呢，我們其實維護了一個非嚴格遞減的佇列，又提到這個名詞了。我的理解是不拿實際例子來舉例，實際例子舉例的話可能一下子就明白了，但是記得不紮實，下次可能還忘，我們在腦海中演示這個過程。
3. 過程演示。當我們在未形成視窗的時候遍歷，這個時候最大值肯定是在隊首，那麼次大值呢？應該排在隊首後面，因為我們需要這個值，假設隊首是最左元素，下次視窗移動的時候，最大值會彈出，所以我們可以取次大值進行比較。
4. 這個非嚴格遞減佇列有什麼規律呢？首先他並不是一個視窗的遞減排序，遞減排序沒有意義對於我們這道題。那這個值應該怎麼取？我們這樣想，我們要一個一個比較，不需要重複比，所以最大值這一部分肯定是沒問題的，假設我們取到最大值，那麼最大值前面的數字還有意義嗎？其實是沒有意義了，滑動視窗從 index - k 到最大值下標 index 這段範圍內，最大值都不會是前面這幾個數字了。按照這個思路，假設我們找到當前比較的最大值了，後面的值應該怎麼處理？如果比當前值大，就替換，並拋棄掉前面的這些值，如果不比當前最大值大，就留著，插入隊尾，當次大值使用，如果刪除了最大值，次大值就是最大值。接下來的所有比較也是如此，如果佇列中的值比當前值小，就全部刪除，因為當前值能保證 [index-k,index] 這段範圍內都有最大值。
注意：形成視窗後，一定要判斷佇列中最大值和視窗中最左邊的值是否相等，如果相等則刪除，這是形成佇列和未形成佇列的主要區別。

作者：jyd
連結：leetcode-cn.com/problems/hua-dong-...
來源：力扣（LeetCode）
著作權歸作者所有。商業轉載請聯絡作者獲得授權，非商業轉載請註明出處。`

題解來源

作者：jyd
連結：leetcode-cn.com/problems/hua-dong-...
來源：力扣（LeetCode）

來源：力扣（LeetCode）
連結：leetcode-cn.com/problems/hua-dong-...

本作品採用《CC 協議》，轉載必須註明作者和本文連結

[每日一題] 第二十六題：滑動視窗的最大值

方法一：單調佇列

程式碼

複雜度分析

個人理解

題解來源

相關文章