國際象棋：模板棋盤狀壓。
擺上馬：需要點思維的棋盤狀壓，相比上一道題加了“蹩馬腳”的設定。
Easy_version ：國際象棋
概述一下此類棋盤問題的思路：
- 用二進位制數表示出棋盤上某一行的狀態。
- 用位運算預處理出合法的單行狀態，以及需要用到的一些東西。
- 用位運算判斷前一行或者前幾行能否轉移過來。
- 轉移前一行或者前幾行的相容類。
基礎位運算
判斷兩邊是否有：i&(i>>1) 和 i&(i<<1) 。
判斷 \(i\) 是否包含在合法狀態 \(j\) 裡： (i&j)==i 。
對於本題
記錄下兩行的狀態，定義 \(dp[i][j][k][l]\) 表示第 \(i\) 行時，第 \(i\)行狀態為 \(j\) ，第 \(i-1\) 行狀態為 \(k\) ，且目前擺了 \(l\) 個馬的方案數。
初始化 \(dp[0][0][0][0]=1\) 。
迴圈順序是：
- 行數。
- 馬的個數。
- 第 \(i\) 行狀態。
- 第 \(i-1\) 行狀態。
- 第 \(i-2\) 行狀態。
注意由於只會用到前一行的狀態，所以我們可以強行滾動陣列最佳化，透過 \(\bmod 2\) 來解決。滾動陣列每次必須先初始化為 \(0\) 。
時間複雜度 \(O(2^{3n}mk)\)，有點緊，常數不能太大。
為了不在最後統計一遍，太過麻煩，所以我們多加了兩行，並強制這兩行必須不能放馬，這樣就不用手工統計方案數了。
程式碼
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pi;
int n,m,k,tot[70];
const ll mod=1e9+7;
ll dp[2][70][70][25];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>n>>m>>k;
for(int i=0;i<(1<<n);i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
tot[i]+=((i>>j)&1);
}
}
dp[0][0][0][0]=1;
for(int i=1;i<=m+2;i++)
{
for(int j=0;j<=k;j++)
{
for(int a=0;a<(1<<n);a++)
{
for(int b=0;b<(1<<n);b++)
{
dp[i&1][a][b][j]=0;
if(((a>>2)&b)||((a<<2)&b))continue;
for(int c=0;c<(1<<n);c++)
{
if(((a>>1)&c)||((a<<1)&c))continue;
if(tot[a]<=j)
{
dp[i&1][a][b][j]=(dp[i&1][a][b][j]+dp[(i&1)^1][b][c][j-tot[a]])%mod;
}
}
}
}
}
}
cout<<dp[(m+2)&1][0][0][k];
return 0;
}
Hard_version ：中國象棋 - 擺上馬
相比上一道，這道必須考慮蹩馬腳的情況，且不用記錄馬的個數。
這題難點便是在判斷蹩馬腳：
進階位運算
篩選出本行左邊是 \(0\) ，這一位是 \(1\) 的點： i&((~i)>>1) 。
篩選出本行右邊是 \(0\) ，這一位是 \(1\) 的點： i&((~i)<<1) 。
考慮 \(i\) 和 \(i-1\) 行時
\(a\) 為第 \(i\) 行狀態，\(b\) 為第 \(i-1\) 行狀態，\(c\) 為第 \(i-2\) 行狀態。
第 \(i\) 行左邊沒有蹩馬腳，並且可以攻擊到左上的馬的情況：a&((~a)>>1)&(b>>2) 。
第 \(i\) 行右邊沒有蹩馬腳，並且可以攻擊到右上的馬的情況：a&((~a)<<1)&(b<<2) 。
第 \(i-1\) 行左邊沒有蹩馬腳，並且可以攻擊到左下的馬的情況：b&((~b)>>1)&(a>>2) 。
第 \(i-1\) 行右邊沒有蹩馬腳，並且可以攻擊到右下的馬的情況：b&((~b)<<1)&(a<<2) 。
考慮 \(i\) 和 \(i-2\) 行時
第 \(i\) 行上邊沒有蹩馬腳，並且可以攻擊到左上的馬的情況：a&(~b)&(c>>1) 。
第 \(i\) 行上邊沒有蹩馬腳，並且可以攻擊到右上的馬的情況：a&(~b)&(c<<1) 。
第 \(i-2\) 行下邊沒有蹩馬腳，並且可以攻擊到左下的馬的情況：c&(~b)&(a>>1) 。
第 \(i-2\) 行下邊沒有蹩馬腳，並且可以攻擊到右下的馬的情況：c&(~b)&(a<<1) 。
時間複雜度 \(O(2^{3y}x)\) 。
程式碼
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pi;
int n,m;
const ll mod=1e9+7;
ll dp[2][70][70];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>m>>n;
dp[0][0][0]=1;
for(int i=1;i<=m+2;i++)
{
for(int a=0;a<(1<<n);a++)
{
for(int b=0;b<(1<<n);b++)
{
dp[i&1][a][b]=0;
if((a&((~a)>>1)&(b>>2))||((a&((~a)<<1)&(b<<2)))||(b&((~b)>>1)&(a>>2))||(b&((~b)<<1)&(a<<2)))continue;
for(int c=0;c<(1<<n);c++)
{
if(((~b)&a&(c>>1))||((~b)&a&(c<<1))||((~b)&c&(a<<1))||((~b)&c&(a>>1)))continue;
dp[i&1][a][b]=(dp[i&1][a][b]+dp[(i&1)^1][b][c])%mod;
}
}
}
}
cout<<dp[(m+2)&1][0][0];
return 0;
}