一.堆的定義：
堆（heap）是電腦科學中一類特殊的資料結構的統稱。堆通常是一個可以被看做一棵樹的陣列物件。堆總是滿足下列性質：
- 堆中某個結點的值總是不大於或不小於其父結點的值；
- 堆總是一棵完全二叉樹。
將根結點最大的堆叫做最大堆或大根堆，根結點最小的堆叫做最小堆或小根堆。常見的堆有二叉堆、[斐波那契堆]等。
堆是非線性資料結構，相當於一維陣列，有兩個直接後繼。
二. 邏輯：
堆的定義如下：n個元素的序列{k1,k2,ki,…,kn}當且僅當滿足下關係時，稱之為堆。有如下事實：
Ki >= K(2i)，Ki >= K(i+1)或者Ki <= K(2i)，Ki <= K(i+1)
若將和此次序列對應的一維陣列（即以一維陣列作此序列的儲存結構）看成是一個完全二叉樹，則堆的含義表明，完全二叉樹中所有非終端結點的值均不大於（或不小於）其左、右孩子結點的值。由此，若序列{k1,k2,…,kn}是堆，則堆頂元素（或完全二叉樹的根）必為序列中n個元素的最小值（或最大值）。
這裡我們以最大堆為例進行講解，如下圖：
下圖用將堆的索引標記出：
三.程式碼實現(c++)
如何實現堆呢？
第一步：堆的構建
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cassert>
using namespace std;
//使用模板函式
template<typename Item>
class MaxHeap{
private:
Item *data; //作為陣列的指標
int count; //表示為陣列的索引
int capacity; //表示堆的容量
public:
//建構函式
//構造一個空堆
MaxHeap(int capacity) {
//動態的開闢一片空間，並將data指向該空間
data = new Item[capacity + 1];
count = 0;
this->capacity = capacity;
}
//解構函式，將new的空間釋放掉
~MaxHeap(){
delete []data;
}
//返回堆的大小
int size(){
return count ;
}
//判斷是否為空堆
bool is_empty(){
return count == 0;
}
};現在我們就將堆構造完成了，現在我們構建的堆好像沒有什麼用，我們還需要對進行資料的插入(Shift Up)和取出(Shift Down)操作，下面分別來實現。
第二步：Shift Up和Shift Down
1. Shift Up
首先我們需要了解什麼是Shift Up：
就是將堆中插入元素的操作，其邏輯為：從堆後一個節點插入元素，如下圖：
插入元素後必須維護堆的定義，所以需要將新插入的元素做比較，其方法是：
將新元素跟它所在節點的上一個節點 (新元素的父節點) 的數比較，如下圖中：
53 > 16 需要將兩元素位置互換
互換位置後就變成了下圖：
然後仍然需要維護堆的定義所以需要將52和它的父節點的元素做比較：
52 > 41,所以將兩元素位置互換
就得到下圖，但仍然需要維護堆的定義，所以繼續比較
最後就變成了下圖
這就是整個ShiftUp操作
下面上程式碼：
//向堆中插入元素
int insert(Item item){
//我們這裡的對的根節點從索引為1開始，所以需要capacity+1的空間
//assert用於判斷是否滿足capacity+1 > capacity
assert(capacity+1 > capacity);
data[count+1] = item;
count++;
ShiftUp(count);
}這裡我將建構函式ShiftUp()寫在private中，使用者不需要看到我們背後的邏輯
private:
Item *data; //作為陣列的指標
int count; //表示為陣列的索引
int capacity; //表示堆的容量
//構造shiftUp
void ShiftUp(int k){
while(k>1 && data[k/2] > data[k]){
swap(data[k/2], data[k]);
k/=2;
}
}
完成了Shift Up,下面我們來完成Shift Down
2.Shift Down
Shift Down是指從堆中將元素取出，其取出操作是：
將堆中的第一個元素取出
然後將堆最後一個元素放到原來取出元素的位置
然後將該元素的左右孩子節點的元素進行比較 （如下圖將52和30比較），然後將該元素和左右孩子節點中值大的元素進行位置互換
如下圖：
然後在將該元素現在所在的節點的左右孩子節點的元素進行比較
得到如下圖：
此時還會判斷16 和15兩元素的大小
此時ShiftDown就完成了
下面上程式碼：
Item extractMax(){
assert(count>0);
//將第一個元素取出
Item ret = data[1];
//將最後一個元素放置第一個位置
swap(data[1], data[count]);
//將多餘的位置消去
count--;
ShiftDown(1);
return ret;
}仍然將ShiftDown放在private中
private:
Item *data; //作為陣列的指標
int count; //表示為陣列的索引
int capacity; //表示堆的容量
//構造shiftUp
void shiftUp(int k){
while(k>1 && data[k/2] > data[k]){
swap(data[k/2], data[k]);
k/=2;
}
}
void ShiftDown(int k){
//判斷是否存在左孩子
while(2*k < count){
int j = 2*k;
//是否存在右孩子
if(j+1 < count && data[j+1] > data[j])
j++;
//data[j]是data[2*k],data[2*k+1]中的最大值
if(data[k] > data[j])
break;
swap(data[k]), data[j];
}
}這樣堆就完成了，下面我們將整個原始碼給出：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cassert>
using namespace std;
//使用模板函式
template<typename Item>
class MaxHeap{
private:
Item *data; //作為陣列的指標
int count; //表示為陣列的索引
int capacity; //表示堆的容量
//構造shiftUp
void shiftUp(int k){
while(k>1 && data[k/2] > data[k]){
swap(data[k/2], data[k]);
k/=2;
}
}
void ShiftDown(int k){
//判斷是否存在左孩子
while(2*k < count){
int j = 2*k;
//是否存在右孩子
if(j+1 < count && data[j+1] > data[j])
j++;
//data[j]是data[2*k],data[2*k+1]中的最大值
if(data[k] > data[j])
break;
swap(data[k]), data[j];
}
}
public:
//建構函式
//構造一個空堆
MaxHeap(int capacity) {
//動態的開闢一片空間，並將data指向該空間
data = new Item[capacity + 1];
count = 0;
this->capacity = capacity;
}
//解構函式，將new的空間釋放掉
~MaxHeap(){
delete []data;
}
//返回堆的大小
int size(){
return count ;
}
//判斷是否為空堆
bool is_empty(){
return count == 0;
}
int insert(Item item){
//我們這裡的對的根節點從索引為1開始，所以需要capacity+1的空間
//assert用於判斷是否滿足capacity+1 > capacity
assert(capacity+1 > capacity);
data[count+1] = item; //向對插入元素
count++;
shiftUp(count);
}
Item extractMax(){
assert(count>0);
//將第一個元素取出
Item ret = data[1];
swap(data[1], data[count]);
count--;
ShiftDown(1);
return ret;
}
};(圖片來源：慕課網bobo老師)
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