一種3位sar adc工作過程推導（二）

3位sar adc採用下圖的電容陣列，需要2³個電容，它的基本單元有二進位制加權的電容陣列、1個與LSB電容等值的電容；它利用電容上的初始電荷再分配完成二進位制搜尋演算法，因此功耗一般比較小，而且不需要額外的取樣保持電路¹。

上一篇文章《一種4位sar adc工作過程推導（二）》討論了兩個參考電壓V_refP和V_refN取值的一般情況，得出“此電路無法適用參考電壓取值的一般情況，VrefN必須接gnd，才能逐次逼近比較的”的結論，隨著對ADC理論的逐步學習，其實可以通過改變電路的結構和開關時序邏輯來滿足參考電壓V_refP和V_refN取值的一般情況。

下面針對前文《一種3位sar adc工作過程推導》提出的3位sar adc的電路結構進行稍微修改,修改後的電路如下圖：所有電容的正端（也稱為上極板）與比較器的同相端連線，比較器反相端接gnd，下面對其工作過程進行大致分析

兩個參考電壓\(V_{refP}\)和\(V_{refN}\)，\(V_{-}=0\)，假設\(\frac{5}{8}(V_{refP}-V_{refN})<V_{in}<\frac{6}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)

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分析過程：

step 0：取樣階段

\(\phi_{1}\)開關閉合，比較器同相端都接V_in；同時讓電容負端都接參考電壓V_refP

電容上儲存的電荷量\(Q=(V_{in}-V_{refP})\cdot8C\)

比較器同相端電壓\(V_{+}=V_{in}\)

step 1：電荷再分配階段（電壓比較階段）

首先將開關\(\phi_{1}\)斷開，電容4C的負端接V_refN，其餘電容保持接V_refP不變
根據電容上的電荷量相等，可得

\(\begin{aligned} &(V_{+}-V_{refP})\cdot4C+(V_{+}-V_{refN})\cdot4C=(V_{in}-V_{refP})\cdot8C \end{aligned}\)

\(\Rightarrow V_{+}=V_{in}-\frac{1}{2}(V_{refP}-V_{refN})\)

則

\[\begin{aligned} V_{+}-V_{-}&=V_{in}-\frac{1}{2}(V_{refP}-V_{refN}) \end{aligned} \]

第1次：\(V_{in}\)與\(\frac{1}{2}(V_{refP}-V_{refN})\)兩者進行比較，則比較器輸出為高電平，即最高位D₂=1

step 2：電荷再分配階段（電壓比較階段）

因為最高位D₂=1，所以電容2C的負端接V_refN；電容4C的負端保持接V_refN
根據電容上的電荷量相等，可得

\(\begin{aligned} &(V_{+}-V_{refP})\cdot2C+(V_{+}-V_{refN})\cdot6C=(V_{in}-V_{refP})\cdot8C \end{aligned}\)

\(\Rightarrow V_{+}=V_{in}-\frac{3}{4}(V_{refP}-V_{refN})\)

則

\[\begin{aligned} V_{+}-V_{-}&=V_{in}-\frac{3}{4}(V_{refP}-V_{refN}) \end{aligned} \]

第2次：\(V_{in}\)與\(\frac{3}{4}(V_{refP}-V_{refN})\)兩者進行比較，則比較器輸出為低電平，即次高位D₁=0

step 3：電荷再分配階段（電壓比較階段）

因為最高位D₂=1且次高位D₁=0，所以電容C的負端接V_refN；電容2C的負端接V_refP，電容4C的負端保持接V_refN
根據電容上的電荷量相等，可得

\(\begin{aligned} &(V_{+}-V_{refP})\cdot3C+(V_{+}-V_{refN})\cdot5C=(V_{in}-V_{refP})\cdot8C \end{aligned}\)

\(\Rightarrow V_{+}=V_{in}-\frac{5}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)

則

\[\begin{aligned} V_{+}-V_{-}&=V_{in}-\frac{5}{8}(V_{refP}-V_{refN}) \end{aligned} \]

第3次：\(V_{in}\)與\(\frac{5}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)兩者進行比較，則比較器輸出為高電平，即最低位D₀=1

所以3位sar adc輸出數字碼為D₂D₁D₀=101

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小結

• 輸入電壓V_in首先與\(\frac{1}{2}(V_{refP}-V_{refN})\)進行比較，然後根據比較器輸出結果（0或1）來選擇下一個參考電壓進行比較，當輸出為1，則與\((\frac{1}{2}+\frac{1}{4})(V_{refP}-V_{refN})\)進行比較；若輸出為0，則與\((\frac{1}{2}-\frac{1}{4})(V_{refP}-V_{refN})\)進行比較，。依次類推，比較器輸出結果就可以等效地控制參考電壓的改變。

下圖直觀反映了3次比較的狀態，令\(V_{ref}=V_{refP}-V_{refN}\).

graph LR; A0((1/2Vref))-.D2=1.-> A1((3/4Vref)) A0-.D2=0.-> A2((1/4Vref)) A1-.D1=1.-A3((7/8Vref)) A1-.D1=0.-A4((5/8Vref)) A2-.D1=1.-A5((3/8Vref)) A2-.D1=0.-A6((1/8Vref)) A3-.D0=1.-A23>輸出:111] A3-.D0=0.-A24>輸出:110] A4-.D0=1.-A25>輸出:101] A4-.D0=0.-A26>輸出:100] A5-.D0=1.-A27>輸出:011] A5-.D0=0.-A28>輸出:010] A6-.D0=1.-A29>輸出:001] A6-.D0=0.-A30>輸出:000]

• 當取樣階段結束後，斷開開關\(\phi_{1}\)，進入電荷再分配階段，各個電容的負端（下極板）所接的電壓值與比較器同相端電壓\(V_{+}\)的關係如下表，從表中可以看出大致規律。

C	C	2C	4C	\(V_{-}\)
VrefP	VrefP	VrefP	VrefP	\(V_{in}\)
VrefP	VrefN	VrefP	VrefP	\(V_{in}-\frac{1}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)
VrefP	VrefP	VrefN	VrefP	\(V_{in}-\frac{2}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)
VrefP	VrefN	VrefN	VrefP	\(V_{in}-\frac{3}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)
VrefP	VrefP	VrefP	VrefN	\(V_{in}-\frac{4}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)
VrefP	VrefN	VrefP	VrefN	\(V_{in}-\frac{5}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)
VrefP	VrefP	VrefN	VrefN	\(V_{in}-\frac{6}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)
VrefP	VrefN	VrefN	VrefN	\(V_{in}-\frac{7}{8}(V_{refP}-V_{refN})\)

• 所以初步得出結論：這個sar adc電路可以滿足參考電壓V_refP和V_refN取值的一般情況。

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參考文獻

- [1] 逐次逼近型ADC