CF557E Ann and Half-Palindrome 題解

ailanxier發表於2021-03-11

演算法：dp+字典樹

題目連結Ann and Half-Palindrome

  在CF刷字串題的時候遇到了這題，其實並沒有黑題這麼難，個人感覺最多是紫題吧（雖然一開始以為是字尾自動機的神仙題）。

  首先注意到字串 \(s\) 長度很小( \(1\le|s|\le5000\) ),可以 \(\mathcal O(n^2)\) 地把所有子串求出來，再用Trie樹存起來，這樣就方便我們dfs求字典序第 \(k\) 小的半迴文串。所以問題重心變為怎麼快速判斷這些子串是否為半迴文串。根據半迴文串的特點，長度長的半迴文串是包含長度小的半迴文串的，所以我們可以用區間dp解決。設 \(f[i][l]\) 表示 \(s[i,i+l-1]\) 是否為半迴文串，它的轉移方程可以寫作( \([A]\) 表示 \(A\) 為真時值為1，否則為0)：

\[\left\{\begin{array}{l}f[i][1]=1\\ f[i][2]=[s[i]=s[i+1]]\\f[i][3]=[s[i]=s[i+2]]\\f[i][4]=[s[i]=s[i+3]] \\ f[i][l]~=[~s[i]=s[i+l-1]\&\&f[i+2][l-4]~],l\ge5\end{array}\right. \]

  這樣dp的時間複雜度也是 \(\mathcal O(n^2)\) 的。之後dfs求解第 \(k\) 小的半迴文串就比較簡單了，由於Trie節點數也是 \(\mathcal O(n^2)\) 的，所以總時間複雜度是 \(\mathcal O(n^2)\) 的。

\(Code:\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5e3 + 5;
bool f[N][N];
int trie[N * N][2],cnt,num[N * N],tot,k;
char s[N+6],ans[N];

void dfs(int now){
    for(int i = 0;i <= 1;i++){
        int next = trie[now][i];
        if(next == 0) continue;
        //如果該節點所表示的半迴文串數量大於k，說明答案就是該半迴文串。
        if(k <= num[next]) {
            ans[++tot] = i + 'a';
            for(int j = 1; j <= tot; j++) printf("%c", ans[j]);
            exit(0);
        }
        k -= num[next];     //k為全域性變數
        ans[++tot] = i + 'a';
        dfs(next);
        tot--;
    }
}

int main() {
    scanf("%s %d",s+1,&k);
    int len = strlen(s+1);
    for(int i = 1;i <=len;i++) f[i][1] = 1;
    for(int i = 1;i < len;i++) f[i][2] = s[i] == s[i+1];
    for(int i = 1;i < len;i++) f[i][3] = s[i] == s[i+2];
    for(int i = 1;i < len;i++) f[i][4] = s[i] == s[i+3];
    for(int l = 5;l <= len;l++)
        for(int i = 1; i <= len; i++)
            f[i][l] = (s[i] == s[i+l-1] && f[i+2][l-4]);
    //將s所有子串加入trie樹中
    for(int i = 1;i <= len;i++){
        int now = 0;
        for(int l = 1; l+i-1 <= len; l++){
            int c = s[i+l-1] - 'a';
            if(trie[now][c] == 0) trie[now][c] = ++cnt;
            now = trie[now][c];
            if(f[i][l]) num[now]++;
        }
    }
    dfs(0);
    return 0;
}

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