紅黑樹詳解

CrazyCatJack發表於2021-02-21

目錄

1. Linux 紅黑樹簡介

紅黑樹是一種自平衡二進位制搜尋樹，用於儲存可排序的鍵/值資料對。這不同於基數樹（基數樹用於有效儲存稀疏陣列，因此使用長整數索引插入/訪問/刪除節點）和雜湊表（不保留排序到容易按順序遍歷，並且必須針對特定大小進行調整，rbtrees適當擴充套件儲存任意鍵的雜湊函式）。紅黑樹類似於AVL樹，但提供更快的實時邊界插入和刪除的最壞情況效能（最多兩次旋轉和分別旋轉三圈以平衡樹），雖然為了平衡速度稍慢（但仍為O（log n））

1.1 Linux 紅黑樹實現

Linux rbtree實現針對速度進行了優化，因此有一個比傳統方式更少的間接樹實現。而不是使用指標來分隔rb_node和資料。在結構中，rb_node的每個例項都嵌入在其組織的資料結構中。而不是使用比較回撥函式指標，使用者應該編寫自己的樹搜尋和插入功能，呼叫提供的rbtree函式。

2.《資料結構與演算法分析》紅黑樹

AVL樹流行的另一變種是紅黑樹。對紅黑樹的操作最壞情形下花費O(logN)時間。（對於插入操作）一種慎重的非遞迴實現可以相對容易的完成（與AVL樹相比）。紅黑樹是具有下列著色性質的二叉查詢樹：

  1. 每一個節點或者是著成紅色，或者是著成黑色
  2. 根是黑色的
  3. 如果一個節點是紅色的，那麼它的子節點必須是黑色的
  4. 從一個節點到一個NULL指標的每一條路徑必須包含相同數目的黑色節點

著色法則的一個推論是，紅黑樹的高度最多是2log(N+1).因此查詢保證是一種對數的操作。困難在於將一個新項插入到樹中。通常把新項作為樹葉放到樹中，如果我們把它塗成黑色，就違反了條件4.因為會建立一條更長的黑節點的路徑。所以這一項必須塗成紅色，如果它的父節點是黑的，我們插入完成。如果它的父節點已經是紅色的，那麼就違反了條件3.這時我們必須調整該數以確保條件3滿足（又不引起條件4被破壞）。完成這項任務的基本操作是顏色的改變和樹的旋轉。

2.1 自底向上插入

如果向如下圖所示，插入25，則非常簡單，因為父節點是黑色節點

sCjSKJ.png

如果父節點是紅色的，那麼有幾種情形（每種都有一個映象對稱）需要考慮。首先，假設這個父節點的兄弟是黑的（約定：NULL節點都是黑色的）。這對於插入3或8是適用的，但對插入99不適用。令X是新加的樹葉，P是它的父節點，S是該節點的兄弟（若存在）,G是祖父節點。這種情形只有X和P是紅的，G是黑的，因為否則就會在插入前有兩個相連的紅色節點，違反了紅黑樹的法則。X,P,G可以形成一個一字形鏈或之字形鏈（兩個方向中的任一個方向）

sP9cQK.png

12-10展示了當P是左兒子時（還有一個對稱情況），該如何旋轉和更改著色該樹。第一種情形對應P和G之間的單旋轉，第二種情形對應雙旋轉，雙旋轉首先在X和P之間進行，然後在X和G之間進行。當編寫程式的時候，我們必須記錄父節點、祖父節點，以及為了重新連線還要記錄曾祖父節點。兩種情形下，子樹的新根均被塗成黑色，因此即使原來的曾祖是紅色的，我們也排除了兩個相鄰紅節點的可能性。同樣重要的是，這些旋轉的結果是通向A,B和C諸路徑上的黑節點個數保持不變。如果我們企圖將79插入到圖12-9中，如果S是紅色的，初始時從子樹的根到C的路徑上有一個黑色節點，在旋轉之後，一定仍然還是隻有一個黑色節點。兩種情況下，在通向C的路徑上都有三個節點（新的根，G和S）。由於只有一個可能是黑的，且我們不能有連續的紅色節點，我們必須把S和子數的新根都塗成紅色，而把G（以及第四個節點）都塗成黑色。但是如果曾祖父也是紅色的，那麼我們可以將這個過程朝著根的方向上濾，就像對B樹和二叉堆所做的那樣，直到我們不再有兩個相連的紅色節點或者到達根（它將被重新塗成黑色）處為止

2.2 自頂向下的紅黑樹

上濾的實現需要用一個棧或用一些父指標儲存路徑。如果使用一個自頂向下的過程，實際上是對紅黑樹應用從頂向下保證S不會是紅的過程，則伸展樹會更有效。在向下的過程中，當我們看到一個節點X有兩個紅兒子的時候，我們讓X成為紅的而讓它的兩個兒子成為黑的。只有當X的父節點P也是紅的時候這種翻轉將破壞紅黑的法則，此時我們可以進行12-10中那樣適當的旋轉。如果X的父節點的兄弟是紅的會如何，這種可能已經被從頂向下過程中的行動所排除。因此X的父節點的兄弟不可能是紅的。如果在沿樹向下的過程中我們看到一個節點Y有兩個紅兒子，那我們知道Y的孫子必然是黑的。由於Y的兒子也要變成黑的，甚至在可能發生的旋轉之後，因此我們將不會看到兩層上另外的紅節點。這樣，當我們看到X，若X的父節點是紅的，則X的父節點的兄弟不可能也是紅的。

sPJ2CR.png

我們假設要將45插入到圖12-9中的樹上，在沿樹向下的過程中，我們看到50有兩個紅兒子。因此，我們執行一次顏色翻轉，使50為紅的，40和55是黑的。現在50和60都是紅的，我們在60和70之間執行單旋轉，使得60是30的右子樹的黑根，而70和50都是紅的，如果我們看到在含有兩個紅兒子的路徑上有另外一些節點，那麼我們繼續，執行同樣的操作。當我們到達樹葉時，把45作為紅節點插入，由於父節點是黑的，因此插入完成。

sPULTS.png

紅黑樹常常平衡的很好，平均紅黑樹大約和平均AVL樹一樣深，從而查詢時間一般接近最優。紅黑樹的優點是執行插入所需要的開銷相對較低，實踐中發生的旋轉相對較少。紅黑樹的具體實現是複雜的，不僅因為有大量可能地旋轉，而且還因為一些子樹可能是空的，以及處理根的特殊的情況（尤其是根沒有父親）。因此我們使用兩個標記節點：一個是根，一個是NullNode。它的作用像在伸展樹中那樣是指示一個NULL指標。根標記將儲存關鍵字負無窮和一個指向真正的根的右指標。為此，查詢和列印過程需要調整，遞迴的歷程都很巧妙。我們使用一個隱藏的遞迴過程，而並不強迫使用者傳遞T->Right。因此使用者不必關心頭節點。

使用兩個標記對樹的中序遍歷
列印樹，關注NULLNode，跳過頭部

static void
DoPrint(RedBlackTree T)
{
    if (T != NullNode)
    {
        DoPrint(T->Left);
        Output(T->Element);
        DoPrint(T->Right);
    }
}

void
PrintTree(RedBlackTree T)
{
    DoPrint(T->Right);
}

我們還需要使使用者呼叫歷程Initialize來指定頭節點。如果構造的是第一棵樹，那麼Initialize應該再為NullNode分配記憶體（其後的樹可以分享NullNode）

typedef enum ColorType{Red, Blck} ColorType;

struct RedBlackNode
{
    ElementType Element;
    RedBlackTree Left;
    RedBlackTree Right;
    ColorType Color;
};

Position NullNode = NULL; /* Needs initialization */

/* Initialization procedure */
RedBlackTree
Initialize(void)
{
    RedBlackTree T;
    
    if (NullNode == NULL)
    {
        NullNode = malloc (sizeof(struct RedBlackNode));
        if (NullNode == NULL)
            FatalError("Out of space!");
        NullNode->Left = NullNode->Right = NullNode;
        NullNode->Color = Black;
        NullNode->Element = Infinity;
    }
    
    /* Create the header node */
    T = malloc(sizeof(struct RedBlackNode));
    if (T == NULL)
        FatalError("Out of space!");
    T->Element = NegInfinity;
    T->Left = T->Right = NullNode;
    T->Color = Balck;
    
    return T;
}

旋轉過程


在X節點處執行旋轉，

static Position
Rotate(ElementType Item, Position Parent)
{
    if (Item < Parent->Element)
        return Parent->Left = Item < Parent->Left->Element? SingleRotateWithLeft(Parent->Left) : SingleRotateWithRight(Parent->Left);
    else
        return Parent->Right = Item < Parent->Right->Element?
        SingleRotateWithLeft(Parent->Right) :
        SingleRotateWithRight(Parent->Right);
}

插入過程


static Position X, P, GP, GGP;

static
void HandleReorient(ElementType Item, RedBlackTree T)
{
    X->Color = Red; /* Do the color flip */
    X->Left->Color = Black;
    X->Right->Color = Black;
    
    if (P->Color == Red) /* 必須進行旋轉 */
    {
        GP->Color = Red;
        if ((Item < GP->Element) != (Item < P->Element))
            P = Rotate(Item, GP); /* 開始雙旋轉 */
        X = Rotate(Item, GGP);
        X->Color = Black;
    }
    T->Right->Color = Black; /* Make root black */
}

RedBlackTree
Insert(ElementType Item, RedBlackTree T)
{
    X = P = GP = T;
    NullNode->Element = Item;
    while (X->Element != Item)
    {
        GGP = GP;
        GP = P;
        P = X;
        
        if (Item < X->Element)
            X = X->Left;
        else
            X = X->Right;
        if (X->Left->Color == Red && X->Right->Color == Red)
            HandleReorient(Item, T);
    }
    
    if (X != NullNode)
        return NullNode; /* Duplicate */
    X = malloc(sizeof(struct RedBlackNode));
    if (X == NULL)
        FatalError("Out of space!");
    X->Element = Item;
    X->Left = X->Right = NullNode;
    
    if (Item < P->Element) /* Attach to its parent */
        P->Left = X;
    else
        P->Right = X;
    
    HandleReorient(Item, T); / * Color red: 可能需要旋轉 */
    
    return T;
}

2.3 自頂向下的刪除

紅黑樹中的刪除也可以自頂向下進行，每一件工作都歸結於能夠刪除一片樹葉。因為要刪除一個帶有兩個兒子的節點，我們用右子樹上的最小節點代替他。該節點必然最多隻有一個兒子，然後將該節點刪除。只有一個右兒子的節點可以用相同的方式刪除，而只有一個左兒子的節點通過用其左子樹上最大節點替換，然後可將該節點刪除。對於紅黑樹，我們使用的方法繞過帶有一個兒子的節點的情形，因為這可能在樹的中部連線兩個紅色節點，為紅黑條件的實現增加困難。
紅色樹葉的刪除很簡單，如果一片樹葉是黑的，刪除會變複雜，因為黑色節點的刪除將破壞條件4.解決辦法是保證從上到下刪除期間樹葉是紅的。令X為當前節點，T是它的兄弟，而P是他們的父親。開始時我們把樹的根部塗成紅色。當沿樹向下遍歷時，我們設法保證X是紅色的，當我們到達一個新的節點時，我們要去確信P是紅的。並且X和T是黑的（因為我們不能有兩個相連的紅色節點）。存在兩種主要的情形：
首先，設X有兩個黑兒子，此時有三種子情況，如果T也有兩個黑兒子，那麼我們可以翻轉X，T和P的顏色來保持這種不變性，否則，T的兒子之一是紅的，根據這個兒子節點是哪一個，可以應用下圖第二和第三種情形表示的旋轉。注意這種情形對於樹葉將是適用的，因為NullNode被認為是黑的。設X的兒子之一是紅的，在這種情形下，我們落到下一層上，得到新的X，T和P。如果X落在紅兒子上，我們可以繼續向前進行。如果不是這樣，我們知道T將是紅的，而X和P將是黑的。我們可以旋轉T和P，使得X的新父親是紅的，X和他的祖父將是黑的，此時可以回到第一種主情況。

si9uBF.png

參考文獻

  1. Mark Allen Weiss.資料結構與演算法分析[M].America, 2007
  2. Linux紅黑樹說明文件-linux/Documentation/rbtree.txt
  3. 紅黑樹解析與移植-https://blog.csdn.net/npy_lp/article/details/7420689
  4. 紅黑樹與AVL樹優劣-https://www.zhihu.com/question/19856999
  5. 紅黑樹平衡原理解析-https://my.oschina.net/u/4543837/blog/4406384

本文作者: CrazyCatJack

本文連結: https://www.cnblogs.com/CrazyCatJack/p/14408192.html

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