一、前言

為啥要學紅黑樹吖？

因為筆者最近在趕專案的時候，不忘抽出時間來複習 Java 基礎知識，現在準備看集合的原始碼啦啦。聽聞，HashMap 在 jdk 1.8 的時候，底層的資料結構發生了變化，變成了陣列+連結串列+紅黑樹。很好，沒了解過紅黑樹，所以就趁今天閒暇學習一下啦

二、什麼是紅黑樹？

2.1 有啥用處？

紅黑樹從本質上來說就是一顆二叉查詢樹，但是在二叉樹的基礎上增加了著色相關的性質，使得紅黑樹可以保證相對平衡，從而保證紅黑樹的增刪改查的時間複雜度最壞也能達到 O(log N)。

2.2 紅黑樹的六條性質你知道嗎？

1. 每個節點要麼是黑的，要麼是紅的

2. 根節點是黑的

3. 葉節點是黑的

4. 如果一個節點是紅的，他的兩個兒子節點都是黑的

5. 對於任一節點而言，其到葉節點樹尾端NIL指標的每一條路徑都包含相同數目的黑節點。這其實就是黑高啦！

6. 新插入的節點必須是紅色噢！

 

2.3 插入操作

首先，先看這個圖吧，這就是全部的插入操作後，平衡的方法啦！其實我還是喜歡用筆畫 hhh

紅黑樹的概念理解起來較為複雜，我們以一個簡單的示例，看看如何構造一棵紅黑樹。

現有陣列int[] a = {1, 10, 9, 2, 3, 8, 7, 4, 5, 6};我們要將其變為一棵紅黑樹。

首先插入1，此時樹是空的，1就是根結點，根結點是黑色的：

首先插入 1，此時樹是空的，1 就是根結點，根結點是黑色的：

插入 1

然後插入元素 10，此時依然符合規則，結果如下：

插入 10

當插入元素 9 時，這時是需要調整的第一種情況，結果如下：

插入 9

紅黑樹規則 4 中強調不能有兩個相鄰的紅色結點，所以此時我們需要對其進行調整。調整的原則有多個相關因素，這裡的情況是，父結點 10 是其祖父結點 1（父結點的父結點）的右孩子，當前結點 9 是其父結點 10 的左孩子，且沒有叔叔結點（父結點的兄弟結點），此時需要進行兩次旋轉，第一次，以父結點 10 右旋：

右旋

然後將父結點**（此時是 9）**染為黑色，祖父結點 1 染為紅色，如下所示：

染色

然後以祖父結點 1 左旋：

左旋

下一步，插入元素 2，結果如下：

插入 2

此時情況與上一步類似，區別在於父結點 1 是祖父結點 9 的左孩子，當前結點 2 是父結點的右孩子，且叔叔結點 10 是紅色的。這時需要先將叔叔結點 10 染為黑色，再進行下一步操作，具體做法是將父結點 1 和叔叔結點 10 染為黑色，祖父結點 9 染為紅色，如下所示：

染色

由於結點 9 是根節點，必須為黑色，將它染為黑色即可：

染色

下一步，插入元素 3，如下所示：

插入 3

這和我們之前插入元素 10 的情況一模一樣，需要將父結點 2 染為黑色，祖父結點 1 染為紅色，如下所示：

染色

然後左旋：

左旋

下一步，插入元素 8，結果如下：

插入 8

此時和插入元素 2 有些類似，區別在於父結點 3 是右孩子，當前結點 8 也是右孩子，這時也需要先將叔叔結點 1 染為黑色，具體操作是先將 1 和 3 染為黑色，再將祖父結點 2 染為紅色，如下所示：

染色

此時樹已經平衡了，不需要再進行其他操作了，現在插入元素 7，如下所示：

插入 7

這時和之前插入元素 9 時一模一樣了，先將 7 和 8 右旋，如下所示：

右旋

然後將 7 染為黑色，3 染為紅色，再進行左旋，結果如下：

左旋

下一步要插入的元素是 4，結果如下：

插入 4

這裡和插入元素 2 是類似的，先將 3 和 8 染為黑色，7 染為紅色，如下所示：

染色

但此時 2 和 7 相鄰且顏色均為紅色，我們需要對它們繼續進行調整。這時情況變為了父結點 2 為紅色，叔叔結點 10 為黑色，且 2為左孩子，7 為右孩子，這時需要以 2 左旋。這時左旋與之前不同的地方在於結點 7 旋轉完成後將有三個孩子，結果類似於下圖：

錯誤示意圖

這種情況處理起來也很簡單，只需要把 7 原來的左孩子 3，變成 2 的右孩子即可，結果如下：

調整

然後再把 2 的父結點 7 染為黑色，祖父結點 9 染為紅色。結果如下所示：

染色

此時又需要右旋了，我們要以 9 右旋，右旋完成後 7 又有三個孩子，這種情況和上述是對稱的，我們把 7 原有的右孩子 8，變成 9的左孩子即可，如下所示：

右旋

下一個要插入的元素是 5，插入後如下所示：

插入 5

有了上述一些操作，處理 5 變得十分簡單，將 3 染為紅色，4 染為黑色，然後左旋，結果如下所示：

左旋

最後插入元素 6，如下所示：

插入 6

又是叔叔結點 3 為紅色的情況，這種情況我們處理過多次了，首先將 3 和 5 染為黑色，4 染為紅色，結果如下：

染色

此時問題向上傳遞到了元素 4，我們看 2、4、7、9 的顏色和位置關係，這種情況我們也處理過，先將 2 和 9 染為黑色，7 染為紅色，結果如下：

染色

最後 7 是根結點，染為黑色即可，最終結果如下所示：

2.4 刪除操作

刪除的規則如下：

要從一棵紅黑樹中刪除一個元素，主要分為三種情況。

情況 1：待刪除元素沒有孩子

沒有孩子指的是沒有值不為 NIL 的孩子。這種情況下，如果刪除的元素是紅色的，可以直接刪除，如果刪除的元素是黑色的，就需要進行調整了。

例如我們從下圖中刪除元素 1：

紅黑樹

刪除元素 1 後，2 的左孩子為 NIL，這條支路上的黑色結點數就比其他支路少了，所以需要進行調整。

這時，我們的關注點從叔叔結點轉到兄弟結點，也就是結點 4，此時 4 是紅色的，就把它染為黑色，把父結點 2 染為紅色，如下所示：

染色

然後以 2 左旋，結果如下：

左旋

此時兄弟結點為 3，且它沒有紅色的孩子，這時只需要把它染為紅色，父結點 2 染為黑色即可。結果如下所示：

調整完畢

情況 2：待刪除元素有一個孩子

這應該是刪除操作中最簡單的一種情況了，根據紅黑樹的定義，我們可以推測，如果一個元素僅有一個孩子，那麼這個元素一定是黑色的，而且其孩子是紅色的。

假設我們有一個紅色節點，它是樹中的某一個節點，且僅有一個孩子，那麼根據紅色節點不能相鄰的條件，它的孩子一定是黑色的，如下所示：

紅色節點僅一個孩子

但這個子樹的黑高卻不再平衡了（注意每個節點的葉節點都是一個 NIL 節點），因此紅色節點不可能只有一個孩子。

而若是一個黑色節點僅有一個孩子，如果其孩子是黑色的，同樣會打破黑高的平衡，所以其孩子只能是紅色的，如下所示：

黑色節點僅一個孩子

只有這一種情況符合紅黑樹的定義，這時要刪除這個元素，只需要使用其孩子代替它，僅代替值而不代替顏色即可，上圖的情況刪除完後變為：

刪除完畢

可以看到，樹的黑高並沒有發生變化，因此也不需要進行調整。

情況 3：待刪除元素有兩個孩子#

我們在討論二叉排序樹時說過，如果刪除一個有兩個孩子的元素，可以使用它的前驅或者後繼結點代替它。因為它的前驅或者後繼結點最多隻會有一個孩子，所以這種情況可以轉為情況 1 或情況 2 處理。

刪除元素最複雜的是情況 1，這主要由其兄弟結點以及兄弟結點的孩子顏色共同決定。這裡簡要做下總結。

我們以 N 代表當前待刪除節點，以 P 代表父結點，以 S 代表兄弟結點，以 SL 代表兄弟結點的左孩子，SR 代表兄弟結點的右孩子，如下所示：

圖樣

根據紅黑樹定義，這種情況下 S 要麼有紅色的子結點，要麼只有 NIL 結點，以下對 S 有黑色結點的情況均表示 NIL

主要有以下幾種：

1. S 是紅色，P 一定是黑色，S 也不會有紅色的孩子，如下：

紅色兄弟結點

此時把 P 和 S 顏色變換，再左旋，如下：

左旋

這樣變換後，N 支路上的黑色結點並沒有增加，所以依然少一個，

1. P，S 以及 S 的全部孩子都是黑色

無論 S 有幾個孩子，或者沒有孩子，只要不是紅色都是這種情況，此時情況如下：

全黑色

我們把 S 染為紅色，這樣一來，N 和 S 兩個支路都少了一個黑色結點，所以可以把問題向父結點轉移，通過遞迴解決。染色後如下：

染色

1. P 為紅（S 一定為黑），S 的孩子都為黑

這種情況最為簡單，只需要把 P 和 S 顏色交換即可。這樣 N 支路多了一個黑色元素，而 S 支路沒有減少，所以達到了平衡。

交換前

交換後

1. P 任意色，S 為黑，N 是 P 的左孩子，S 的右孩子 SR 為紅，S 的左孩子任意

如下所示

任意色

此時將 S 改為 P 的顏色，SR 和 P 改為黑色，然後左旋，結果如下：

左旋

可以發現，此時 N 支路多了一個黑色結點，而其餘支路均沒有收到影響，所以調整完畢。

1. P 任意色，S 為黑，N 是 P 的左孩子，S 的左孩子 SL 為紅，S 的右孩子 SR 為黑，如下所示：

   

    

   SR 黑色

此時變換 S 和 SL 的顏色，然後右旋，結果如下：

右旋

這時，所有分支的黑色結點數均沒有改變，但情況 5 轉為了情況 4，再進行一次操作即可。

還有一些情況與上述是對稱的，我們進行相應的轉換即可。

紅黑樹的操作比較複雜，插入元素可能需要多次變色與旋轉，刪除也是。這些操作的目的都是為了保證紅黑樹的結構不被破壞。這些複雜的插入與刪除操作希望大家可以親手嘗試一下，以加深理解。

三、結語

紅黑樹其實一開始看起來有點懵逼懵逼的，但是，其實你看完了全文，然後手動模擬一下插入刪除操作，發現也不是想象中的很難啦！

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