【簡單演算法】什麼是複雜度？

把蘋果v咬哭發表於2020-12-22
演算法複雜度

在上一篇文章裡，有看到一個簡單演算法題的2個解法，我們運用了複雜度分析來判斷哪個解法更合適。
這裡的複雜度，就是用於衡量程式的執行效率的重要度量因素。

雖然有句俗話“不管是白貓還是黑貓，抓到老鼠就是好貓”，這句話是站在結果導向的，沒錯。但是如果
有個程式要去處理海量資料，一個程式設計師寫的要執行2天，而另一個程式設計師只要半小時，那麼第二種顯然更適合
我們的實際需求。

一、什麼是複雜度

複雜度是一個關於輸入資料量n的函式。

要表示複雜度很簡單，用大寫O加上括號O()將複雜度包起來就好了。比如這個程式碼的複雜度是f(n)，那就可以寫成
O(f(n))。

在計算複雜度的時候，有三點需要我們記住：

  • 複雜度與具體常係數無關
  • 多項式級複雜度相加，選擇高者為結果
  • O(1)表示特殊複雜度

1、複雜度與具體常係數無關

舉個例子，將一個列表反轉，不用reverse()。

def demo_1():
    a = [1, 2, 3, 4, 5]
    b = [0 for x in range(0,5)]  #第一個for迴圈
    n = len(a)
    for i in range(n):   # 第二個for迴圈
        b[n - i - 1] = a[i]
    print(b)

if __name__ == "__main__":
    demo_1()

===============執行結果==================
D:\Programs\Python\Python36\python.exe D:/練習/leecode/fuzadu.py
[5, 4, 3, 2, 1]

Process finished with exit code 0

可以看到我先用了一個for迴圈建立了一個跟a列表等長度，元素全是0的列表。
然後再用一個for迴圈將a裡的元素倒序放入b，最終得到一個跟a反序的列表。

其中，每一個for迴圈的時間複雜度都是O(n)，2個加起來就是O(n)+O(n)，也等於O(n+n)，也等於O(2n)。
也就是相當於 一段 O(n)複雜度的程式碼先後執行兩遍，它們的複雜度是一致的。

2、多項式級複雜度相加，選擇高者為結果

有了上面的例子，這個也就好理解了。
假設，一個演算法的複雜度是O(n²)+O(n)，那麼可以知道，當n越來越大，也就是輸入的資料量越來越大時，n^2的變化率要比n大的多，
所以，這時候我們只取變化率更大的n^2來表示複雜度即可，也就是O(n²)+O(n)等同於O(n²)。

3、O(1)表示特殊複雜度

還是藉助上面的反轉問題，這裡再使用第二種解法。

def demo_2():
    a = [1, 2, 3, 4, 5]
    tmp = 0
    n= len(a)

    for i in range(n//2):    #  // 表示整數除法，返回不大於結果的一個最大整數
        tmp = a[i]
        a[i] = a[n -i -1]
        a[n -i -1] = tmp
    print(a)

if __name__ == "__main__":
    demo_2()

==============執行結果==============
D:\Programs\Python\Python36\python.exe D:/練習/leecode/fuzadu.py
[5, 4, 3, 2, 1]

Process finished with exit code 0

跟第一個解法相比，第二個解法少了一個for迴圈，而且迴圈次數只是到了列表的一半，那麼時間複雜度就是O(n/2)，
由於複雜度與具體的常係數無關的性質，這段程式碼的時間複雜度還是 O(n)。

但是在空間複雜度上，第二個解法開闢了一個新的變數tmp，它與陣列長度無關。
輸入是 5 個元素的陣列，需要一個tmp變數輸入是 50 個元素的陣列，同樣只需要一個tmp變數。

因此，空間複雜度與輸入陣列長度無關，這就是 O(1)。

二、分析複雜度

這裡就直接上一些經驗性的結論，可以直接拿過來用的：

  • 一個順序結構的程式碼，時間複雜度是 O(1)。
  • 一個簡單的 for 迴圈，時間複雜度是 O(n)。
  • 兩個順序執行的 for 迴圈，時間複雜度是 O(n)+O(n)=O(2n)，其實也是 O(n)。
  • 兩個巢狀的 for 迴圈，時間複雜度是 O(n²)。
  • 二分查詢，時間複雜度都是 O(logn)。

趁熱打鐵，分析一下下面程式碼的複雜度：

for (i = 0; i < n; i++) {
    for (j = 0; j < n; j++) {
        for (k = 0; k < n; k++) {
        }
        for (m = 0; m < n; m++) {
        }
    }
}

可以先從最裡面看，最內層是2個順序結構的for迴圈，複雜度是O(n)。
中間這層的又巢狀了一個for迴圈，所以這時候複雜度就變成了O(n^2)。
最後，最外層又巢狀了一個for迴圈，所以最終的複雜度就是O(n^3)。

雖然測試工程師的程式碼對於複雜度要求不高甚至說非常低，但是我覺得理解複雜度，並且會做一些簡單的分析
還是很有必要的。

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