[JLU] 資料結構與演算法上機題解思路分享-

陆爻齐發表於2024-07-04
資料結構演算法

前言

首先，請務必自己盡全力嘗試實現題目，直接看成品程式碼，思維就被拘束了，也很容易被查重。

這裡只是思路解析的部落格，程式碼倉庫在 JLU_Data_Structures_Record

希望你能在這裡找到你想要的:)

第三次上機

A 手撕BST

分數 50
作者 朱允剛
單位 吉林大學
對一棵初始為空的二叉查詢樹（Binary Search Tree, BST）進行若干插入或刪除操作，請輸出最後的二叉查詢樹。

bst.png

輸入格式:
輸入第一行為一個整數 T，表示運算元目。隨後 T 行，每行為Insert K（表示插入關鍵詞為K的結點，若樹中已有關鍵詞為K的結點，則不插入）或Remove K（表示刪除關鍵詞為K的結點，若樹中無關鍵詞為K的結點，則不刪除），其中K為整數。 T 不超過2×105，樹高不超過104。

輸出格式:
輸出經上述操作後得到的二叉查詢樹的中根序列和先根序列，序列中每個整數後一個空格，兩個序列之間用空行間隔。

輸入樣例:
16
Insert 17
Insert 31
Insert 13
Insert 11
Insert 20
Insert 35
Insert 25
Insert 8
Insert 4
Insert 11
Insert 24
Insert 40
Insert 27
Insert 9
Remove 17
Remove 13

輸出樣例:
4 8 9 11 20 24 25 27 31 35 40

20 11 8 4 9 31 25 24 27 35 40

程式碼長度限制
16 KB
時間限制
500 ms
記憶體限制
64 MB
棧限制
8192 KB

二叉查詢樹的插入和查詢都不算難，但刪除需要注意的是，如果要刪的節點有兩個子節點，則將該節點的右子樹中最小的節點與之交換，並執行從右子樹中刪除該最小點的任務。其餘與普通的二叉樹一樣操作。

B 手撕AVL樹（基礎版）

分數 50
作者 朱允剛
單位 吉林大學
對一棵初始為空的高度平衡樹（AVL樹）進行若干插入或刪除操作，請輸出最後得到的AVL樹。

備註：
（1）當有多種旋轉方案時，優先選擇旋轉次數少的方案。
（2）70%的測試點只包含插入操作，如果你只實現插入操作，也能獲得70%的分數。

輸入格式:
輸入第一行為一個整數 T，表示運算元目。隨後 T 行，每行為Insert K（表示插入關鍵詞為K的結點，若樹中已有關鍵詞為K的結點，則不插入）或Remove K（表示刪除關鍵詞為K的結點，若樹中無關鍵詞為K的結點，則不刪除），其中K為整數。 T 不超過2×10
5
。

輸出格式:
輸出經上述操作後得到的高度平衡樹的中根序列和先根序列，序列中每個整數後一個空格，兩個序列之間用空行間隔。

輸入樣例:
16
Insert 17
Insert 31
Insert 13
Insert 11
Insert 20
Insert 35
Insert 25
Insert 8
Insert 4
Insert 11
Insert 24
Insert 40
Insert 27
Insert 9
Remove 17
Remove 13
輸出樣例:
4 8 9 11 20 24 25 27 31 35 40

20 8 4 11 9 31 25 24 27 35 40
程式碼長度限制
16 KB
時間限制
100 ms
記憶體限制
64 MB
棧限制
8192 KB

二叉平衡樹的插入和刪除也是思維不復雜，但實現很麻煩的東西，我只能說，為了使程式的邏輯儘可能清晰，儘量把功能打包成函式，比如一個節點的高度什麼的

C 手撕紅黑樹

分數 50
作者 朱允剛
單位 吉林大學
對一棵初始為空的紅黑樹（Red-Black Tree, RBT）進行若干插入或刪除操作，請輸出最後的紅黑樹。

rbt.png

備註：
（1）當有多種旋轉方案時，優先選擇旋轉次數少的方案。
（2）70%的測試點只包含插入操作，如果你只實現插入操作，也能獲得70%的分數。

輸入格式:
輸入第一行為一個整數 T，表示運算元目。隨後 T 行，每行為Insert K（表示插入關鍵詞為K的結點，若樹中已有關鍵詞為K的結點，則不插入）或Remove K（表示刪除關鍵詞為K的結點，若樹中無關鍵詞為K的結點，則不刪除），其中K為整數。 T 不超過2×10
5
。

輸出格式:
輸出經上述操作後得到的紅黑樹的中根序列和先根序列，序列中對於每個結點輸出其關鍵詞和顏色（紅色用R表示，黑色用B表示），每個元素後一個空格，兩個序列之間用空行間隔。

輸入樣例:
5
Insert 8
Insert 9
Insert 3
Insert 4
Insert 5

輸出樣例:
3 R 4 B 5 R 8 B 9 B

8 B 4 B 3 R 5 R 9 B

程式碼長度限制
16 KB
時間限制
100 ms
記憶體限制
64 MB
棧限制
8192 KB

紅黑樹這題，也差一個點沒過，故不作思路解析

第四次上機

A 手撕STL sort（進階版）

分數 100
作者 朱允剛
單位 吉林大學
事實上，STL的sort函式在上一題（基礎版）的基礎上，還採用了下列最佳化手段，以進一步提升快速排序演算法的效率。

（3）“三數取中”選基準元素。不是選取第一個元素作為基準元素，而是在當前子陣列中選取3個元素，取中間大的那個元素作為基準元素。從而保證選出的基準元素不是子陣列的最小元素，也不是最大元素，避免Partition分到子陣列最邊上，以降低最壞情況發生的機率。
為確保本題答案唯一，本演算法的實現請以教材為準，即普林斯頓大學Sedgewick教授給出的方法：若當前子陣列是R[m]…R[n]，選取R[m]、R[(m+n)/2]和R[n]的中位數作為基準元素。先將R[(m+n)/2]與R[m+1]交換；若R[m+1]比R[n]大，交換二者；若R[m]比R[n]大，交換二者；若R[m+1]比R[m]大，交換二者。

（4）尾遞迴轉為迴圈。即將傳統快速排序程式碼

void QuickSort(int R[],int m,int n){
   if(n - m + 1 > threshold){
        int j = Partition(R, m, n); 
        QuickSort(R, m, j-1);  //遞迴處理左區間
        QuickSort(R, j+1, n);  //遞迴處理右區間，尾遞迴
     }
}

轉換為

void QuickSort(int R[],int m,int n){
   while(n - m + 1 > threshold){    //注意此處不是if，而是while
        int j = Partition(R, m, n); 
        QuickSort(R, m, j-1);  //遞迴處理左區間
        m = j+1;  //透過while迴圈處理右區間，從而消除尾遞迴
     }
}

即先遞迴處理左區間，後迴圈處理右區間，從而消除一個尾遞迴，以減少遞迴呼叫帶來的時空消耗。
這裡需注意，尾遞迴轉迴圈後，轉入堆排序的時機不僅僅是遞迴深度達到2logn，而是遞迴深度和while迴圈迭代的次數加一起達到2logn時轉入堆排序。

（5）優先處理短區間。在上述策略（4）的基礎上進一步改進，不是按固定次序處理左右子區間（每次都先處理左區間、後處理右區間），而是先（透過遞迴）處理左右兩個子區間中“較短的那個區間”，然後再（透過迴圈）處理兩個子區間中“較長的那個區間”。從而使每次遞迴處理的子陣列長度至少縮減一半，使最壞情況下遞迴深度（演算法最壞情況空間複雜度）為logn。

（6）三路分劃（3-Way Partition）。當重複元素很多時，傳統快速排序效率較低。可修改Partition操作，不是把當前陣列劃分為兩部分，而是三部分：小於基準元素K的元素放在左邊，等於K的元素放在中間，大於K的元素在右邊。接下來僅需對小於K的左半部分子陣列和大於K的右半部分子陣列進行排序。中間等於K的所有元素都已就位，無需處理。
為確保本題答案唯一，此處請採用如下做法：若當前子陣列是R[m]…R[n]，可設定3個指標，前指標i，中指標j，後指標k。初始時i和j指向第一個元素，k指向最後一個元素；指標j從左往右掃描陣列：

若R[j]小於基準元素，交換R[j]和R[i], i++, j++；
若R[j]大於基準元素，交換R[j]和R[k], k--；
若R[j]等於基準元素，j++；
透過指標j的遍歷，使小於基準元素的元素換到當前子陣列左側，大於基準元素的元素換到右側。當j掃描完當前子陣列後，R[m]…R[i-1]即小於基準元素的元素，R[i]…R[k]即等於基準元素的元素，R[k+1]…R[n]即大於基準元素的元素。

在本題中，請你在之前實現的STL sort()初級版的基礎上，進一步實現上述最佳化策略。

提示：本題只需把原來的Partition改為3-way Partition，並使用“三數取中”法選擇基準元素。
在快速排序函式里，改為“尾遞迴轉迴圈 + 先處理短區間”。你可以在Visual Studio裡對sort函式右鍵點選“轉到定義”，檢視VS中STL的sort()實現細節
vstudio sort轉到定義圖片.jpg

函式介面定義：
void sort(int *R, int n);
功能為對整數R[1]…R[n]遞增排序。

裁判測試程式樣例：

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
using namespace std;
int threshold;

// 請在這裡補充你的程式碼，即你所實現的sort函式

int main()
{
    int n,i;
    int a[50010];
    scanf("%d %d", &n, &threshold);
    for (i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    
    sort(a,n);
    
    printf("Final:");
    for (i = 1; i <= n; i++)
        printf("%d ",a[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}

備註：提交程式碼時，只需提交sort函式以及你自定義的其他函式，不用提交#include或者main函式等內容。

輸入格式:
輸入第一行為2個正整數n和threshold，n為待排序的元素個數，不超過50000，threshold為改用插入排序的閾值，不超過20，含義如上所述。第二行為n個空格間隔的整數。本題中讀入資料的操作無需你來實現，而由框架程式完成。

輸出格式:
輸出第一行為以depth_limit:開頭的整數，表示轉為堆排序的遞迴深度，即⌊2log
2n⌋。從第二行開始，輸出對某子陣列轉為堆排序後，該子陣列初始建堆的結果，每個元素後一個空格，每個堆佔一行，以Heap:開頭。注意，可能不止一個堆。接下來下一行，輸出n個整數，每個整數後一個空格，為快速排序所有遞迴退出後，插入排序執行前的陣列元素，以Intermediate:開頭。最後一行為n整數，每個整數後一個空格，表示排序後的陣列，以Final:開頭（最後一行由框架程式完成，無需你來輸出）。

輸入樣例1：
10 2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

輸出樣例1：
depth_limit:6
Intermediate:1 2 3 5 4 6 7 8 9 10
Final:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

輸入樣例2：
60 2
66 61 92 22 50 80 39 2 25 60 49 17 37 19 24 57 40 82 11 52 45 0 33 78 32 25 19 42 92 50 39 87 74 87 56 79 63 63 80 83 50 3 87 2 91 77 87 10 59 23 25 6 49 85 9 95 60 16 28 1
輸出樣例2：
depth_limit:11
Intermediate:1 0 2 2 3 6 9 10 11 16 17 19 19 22 23 24 25 25 25 32 28 33 37 39 39 40 42 45 49 49 50 50 50 52 56 57 59 60 60 61 63 63 66 74 77 78 79 80 80 82 83 85 87 87 87 87 91 92 92 95
Final:0 1 2 2 3 6 9 10 11 16 17 19 19 22 23 24 25 25 25 28 32 33 37 39 39 40 42 45 49 49 50 50 50 52 56 57 59 60 60 61 63 63 66 74 77 78 79 80 80 82 83 85 87 87 87 87 91 92 92 95

程式碼長度限制
16 KB
時間限制
100 ms
記憶體限制
64 MB

此題基於課程設計第二次上機A題，而且改進方法都在題目裡，是在不行，朱老師的ppt裡有來著？

小結

好像又沒啥可結的，總之就這樣罷

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