計算機組成原理白學了，再次回顧浮點數加減

城南有夢發表於2020-08-12

計算機

計算機中浮點數的表示

大二學的計算機組成原理，回顧下其中的知識

計算機中浮點數的表示

一個加法引發的思考

上次在一個論壇裡看到了Java裡的一些不正常的操作，比如說0.05+0.01的結果居然不是等於0.06，截圖為證：（雖然說在學計算機組成原理的時候貌似也碰到過，但是那時並沒有深入研究）

於是我便就此問題進行深入的探討，不過卻發現要計算機組成原理的相關知識，大二學的計算機組成原理，現在基本上全部還給老師了，於是重新回顧下計算機組成原理裡相關的知識。

計算機中的原碼、反碼、補碼、移碼

原碼

在計算機中增加了一個符號位來表示數字的正負值，符號位為0表示正數，符號位為1表示負數，是在其數值的基礎上加了符號位，舉個例子：

123的原碼為：0111 1011，第一個0表示符號位，後面的就是其二進位制數值。
-123的原碼為：1111 1011，第一個1表示符號位，後面的就是其二進位制數值。

早期就是用原碼來表示數字的，但是這樣會出問題，舉個例子，假如用8位二進位制數來表示一個數，那麼1的原碼為 0000 0001，那麼-1的原碼為 1000 0001，正常來說 1+(-1) = 0，但是如果用原碼來進行相加的話，結果就是 1000 0010 ，用原碼來表示也就是-2，和我們正確的結果不一樣，這就是原碼在計算上的缺點。同樣用原碼來表示數會出現+0和-0的情況，但是我們的0只有一個。

反碼

反碼也就是在原碼的基礎上做了一些改變，正數的反碼就是其原碼，負數的反碼就是其原碼除了符號位之後各個位取反。舉個例子：

123的反碼為：0111 1000，也就是其原碼。
-123的反碼為：1000 0111，也就是除了符號位之外，每一位取反。

補碼

補碼是在反碼的基礎上增加了一些規則，正數的補碼是其本身，也就是其原碼，而負數的補碼也就是除符號位之外，其餘各位取反，取反之後的結果加一（負數的補碼相當於在其反碼之後加一）。舉個例子：

123的補碼為：0111 1000，也就是其原碼。
-123的補碼為：1000 1000，也就是其反碼加一。

移碼

移碼的計算是在補碼的符號位上進行取反，舉個例子：

123的移碼為：1111 1000。
-123的移碼為：0000 1000。

為什麼計算機中要用這些來表示數？

計算機不能夠像人一樣直接識別10進位制的數字，像1、2、3、4、5、6等，計算機中只能識別二進位制的資料，所以計算機中的資料儲存是以二進位制為基礎的，既然這樣，那麼就涉及到二進位制資料的加減乘除，那麼計算機中是如何進行處理的呢？

我們還是回到剛才討論的1+（-1）的問題，也就是1-1的問題，如果原碼錶示就會出現0000 0001+1000 0001 = 1000 0010，從而得出-2的結果，這顯然是不正確的，所以我們引入了反碼，將二者的反碼相加，0000 0001+1111 1110 = 1111 1111，然後將結果從反碼轉換為原碼，也就是1000 0000，也就是-0，這樣解決了原碼減法的問題，但是還是存在問題，也就是+0和-0，在人類的認知中+0和-0是一樣的，所以在計算機中也只能有一種表示。

由於反碼無法解決+0和-0的問題，我們才引入補碼的概念，在補碼裡，+0的補碼為，0000 0000，-0的補碼為（1000 0000）_原碼 ——>(1111 1111)_反碼 ——>(0000 0000)_補碼，從其反碼到補碼的過程由於加一之後溢位，而8位二進位制數只能儲存8位，所以溢位的丟棄，所以在補碼裡，+0,和-0的補碼是一樣的。

值得一提的是幾個特殊數的補碼，-128的補碼是 1000 0000，而我們知道原碼錶示的時候，最高位是要用作符號位的，所以8位二進位制數的原碼錶示範圍為-（2⁷-1）~(2⁷-1)也就是（-127~+127），所以-128的原碼是無法直接寫出來的，既然這樣，那-128為什麼還有補碼呢？

在解決上面這個問題之前，我們先來了解一下“同餘定理“的概念，假如有兩個數a和b，如果(a-b)能夠被m整除，那麼就稱a和b對模m同餘，這就是同餘定理。現在我們回到之前，補碼的提出是為了解決兩個問題，第一個是計算機裡的減法，將減法變成加法來做；第二個問題就是+0和-0的解決。而補碼的提出就是為了讓負數變成能夠加的正數。這裡我們舉個例子，我們知道那種掛鐘是以12為單位的，如果現在是8點，我們想將其變成5點，有兩種方式，第一種是順時針撥動9格，另外一種是逆時針撥動3格。逆時針撥動3格很容易理解，就是8-3=5，而順時針撥動9格即是8+9 = 8+（12-3） = 17=12+5。兩種方式都能夠得到結果，但是第一種方法採取的是化減為加的方法。

那麼我們可以借鑑這樣的思路來實現計算機中的減法變加法，通過以上的介紹我們很容易知道8位二進位制的模為256，因為滿256就進位。那麼，我們來計算1+（-2）的時候，就可以計算1+（256-2）=255，而255的表示為1111 1111，剛好就是結果-1的補碼（（-1）——>(1000 0001)_原碼 ——>(1111 1110)_反碼 ——>(1111 1111)_補碼）。

那麼也就是說，求一個數的補碼還可以這樣求，一個數的補碼 = 模-這個數的絕對值。既然如此，我們就可以求-128的補碼，-128的補碼等於256-128，而256-128得到的結果是128，也就是（1000 0000），所以-128的補碼是（1000 0000）。而我們知道，能夠通過一個數的補碼從而求其原碼，方法是符號位不變，其他位取反，然後末尾加一，當對符號位有進位時，進位忽略（當然這是針對符號位為 1的，若符號位為0，那麼原碼即是補碼）。既然如此那麼我們根據-128的補碼求其原碼，（1000 0000）_補碼 ——>取反(1111 1111)加一（1000 0000）_原碼也就是說，-128的原碼是-0，不過的確是這樣，因為在補碼裡+0和-0的補碼是一樣的，所以選擇其中一個表示0，當然+0就被選上了，那麼多出的一個自然就被用作-128，所以8位二進位制數的補碼錶示的數字要比原碼和反碼多一個-128。

所以我們來做一個小總結：（基於8位二進位制數）

-128的補碼是[1000 0000]，沒有原碼（根據補碼求得的原碼在原碼看來是-0），沒有反碼。
+128在8位二進位制數中是沒有原碼、反碼、補碼。
+1的原碼是[0000 0001]，反碼是[0111 1110]，補碼是[0000 0001]。
-1的原碼是[1000 0001],反碼是[1111 1110]，補碼是[1111 1111]。
0的原碼是[0000 0000]，反碼是[0111 1111]，補碼是[0000 0000]。

計算機中如何表示小數？

在計算機組成原理這門課中我們學過，浮點數的表示有分為32位浮點數的表示和64位浮點數的表示，他們的表示方法如下圖：

上面的兩張圖分別表示的是32位浮點數在計算機中的表示和64位浮點數在計算機中的表示，這裡的階碼就類似我們使用科學計數法的指數，舉個例子，123我們用科學計數法表示為1.23×10²在這裡2就是階數，而我們在利用科學計數法進行加減的時候是這樣進行的，比如說1.23×10²+2.556×10³,我們的做法是通過移動小數點將它們的階數變成一致，然後再進行相加。而我們通常會把小的階數轉化成大的階數，然後再進行相加，所以轉化成0.123×10³+2.556×10³=2.679×10³。

而在計算機中同樣如此，我們之前討論過了，在計算機中是以補碼的形式進行加減操作的，所以如果階碼也是用補碼的話就造成了一個問題？上面我們說過我們在進行數字的相加的時候要進行對階操作，也就是將階數小的轉化成階數大的（這裡可能有同學會問為什麼不將大階對小階，你可以試一下，原因是大階對小階造成的數字丟失要比小階對大階要大）。那這樣的話，首先要進行階數的比較，不然怎麼知道誰大誰小，如果階碼採取補碼的方式，那麼在一個浮點數裡就有兩個符號位，這樣不便直接通過無邏輯的二進位制進行比較，所以階碼這裡不能採取有符號數，只能採取無符號數，既然這樣我們為什麼要用移碼來表示階碼呢？

這樣，我們先來提出機器零的概念，在計算機中是不能夠準確的表示自然界中的0的，只能表示一個比較接近於0的數，所以在計算機中，當一個數小於計算機能夠表示最小數的時候，計算機就認為這個數為0，這就是機器零，而我們知道浮點數的表示方法（32位浮點數）為(-1)^S1.M×2^E-127 ，其中S位符號位，M位尾數，E為階碼。所以當尾數全為0的時候不論階碼多少，這個數為0，而當階碼小於能表示的範圍的最小值的時候，不論尾數為多少，這個數為0（這是因為當階碼小於能夠表示範圍的最小值的時候，那麼整個數也就小於能夠表示範圍的最小值了，自然也就當0看待，那麼就不用了管尾數的多少了）。

弄懂了機器零的概念，我們再回到上面討論的用移碼來表示階碼的問題。我們知道機器0在二進位制的表示上是不為0的，只是在概念上為0，那麼為了使機器零在表示上為0，我們引入了移碼，移碼在原來補碼的基礎上符號位取反，相當於是最高位加1，等同於整個數在原來的基礎上加了2^n-1其中n表示的是二進位制數的位數。那也就是說在32位浮點數的裡原來的數加上128就能夠得到階碼了？實際上不是128而是127，那這又是什麼原因呢？如果單純的按照移碼的定義，那麼偏置為128能夠表示的數的範圍為-128~127，但是要注意0000 0000和1111 1111，這兩個數分別表示非規格化數和無窮大，也就是兩個邊界狀態，那也就是說我們實際的移碼範圍是0000 0001到1111 1110，也就是1到254，如果採取偏置為128那麼，表示的範圍是-127到126，和原來的範圍相比左右各收縮一個單位，如果偏置為127，那麼表示的範圍是-126到127，和原來的範圍相比，負數表達的範圍小了，正數表達的範圍沒變，我們知道，在計算機中一個更大的數的表示比一個更小的數的表示要重要，所以在這裡我們的偏置取127，也就是2^n-1-1,那麼在64位浮點數裡偏置自然也就是1023了。

浮點數的轉換以及加減

通過上面知識的回顧，我們來幾道題目練下手，加深印象。

（-0.75）₁₀轉化成IEEE 754單精度浮點表示

求 C0A00000H對應的IEEE 754單精度浮點數的值為多少？

計算兩浮點數的和，均是10進位制，0.5和-0.4375之和。（單精度浮點數）

回到本文開頭提出的問題

那麼我們只需要將0.05和0.01分別用64為浮點數表示，之後再進行相加即可，步驟如下：

在將0.05化成二進位制小數的時候採用瞭如下Java程式輔助計算：

在此之後筆者又找到這樣的例子，並用剛才的方法進行驗證，最終得出正確的結果，如下：

一些規則

進行浮點數加減的時候首先是對階，對階是小階對大階，小階差大階多少，小階的尾數向右移多少，在右移的時候，最高位1被移出，最高位補0。
進行尾數相加的時候是補碼相加，IEEE 754裡尾數是原碼錶示的，所以我們要化成補碼然後相加，正數的補碼即其本身，負數的補碼符號位不變，其它位取反，最後再加1。而且在尾數相加的時候採取的是二位符號位，00表示正數，11表示負數。（注意：這裡的尾數是要包含隱藏位的）
當尾數相加的時候，溢位了（符號位出現01或者10的時候），當符號位為01的時候表示上溢，符號位以0為準，為正值，不過溢位之後要做右規操作，然後做舍入操作，舍入操作即是0舍1入。
當尾數相加，符號位為10的時候表示下溢，符號位以1為準，為負值，溢位之後做右規操作，然後做舍入操作，舍入操作即是0舍1入。
當尾數相加沒有出現溢位的時候，此時如果最高位和符號位相同，那麼需要對尾數做左規處理，直到最高位與符號位數字不同。