章節導學

1. 進位制運算的基本知識

1.1 進位制概述

進位制的定義
- 有限種數字符號來表示無限的數值
- 進位制是一種記數方式，亦稱進位計數法或位值計數法

使用的數字符號的數目稱為這種進位制的基數或底數

常見的進位制
- 二進位制
- 八進位制
- 十六進位制
- 二十進位制
- 六十進位制

1.2 二進位制運算的基礎

二進位制(整數)轉換十進位制

二進位制(整數)轉換十進位制：按權展開法

正整數N，基數為r

? = ?_?−1?_?−2 ⋯ ?₁?₀

= ?_?−1r^?−1 +?_?−2 r^?−2 + ⋯ + ?₁? + ?₀

例：? = 01100101 = 1 ∗ 2⁶ + 1 ∗ 2⁵ + 1 ∗ 2² + 1 = 101

例：? = 11101101 = 1 ∗ 2⁷ + 1 ∗ 2⁶ + 1 ∗ 2⁵ + 1 ∗ 2³ + 1 ∗ 2² + 1 = 237

十進位制(整數)轉換二進位制

十進位制(整數)轉換二進位制：重複相除法

例：(101)₁₀ = ( )₂

重複除以2	得商	取餘數
101/2	50	1
50/2	25	0	按
25/2	12	1	逆
12/2	6	0	序
6/2	3	0	排
3/2	1	1	列
1/2	0	1
二進位制結果	01100101

? = (01100101)₂ = 1 ∗ 2⁶ + 1 ∗ 2⁵ + 1 ∗ 2²+ 1 = (101)₁₀

例：237₁₀ = ( )₂

重複除以2	得商	取餘數
237/2	118	1
118/2	59	0	按
59/2	29	1	逆
29/2	14	1	序
14/2	7	0	排
7/2	3	1	列
3/2	1	1
1/2	0	1
二進位制結果	11101101

? = （11101101）₂ = 1 ∗ 2⁷ + 1 ∗ 2⁶ + 1 ∗ 2⁵ + 1 ∗ 2³ + 1 ∗ 2^2 + 1 = (237)₁₀

二進位制(小數)轉換十進位制

二進位制(小數)轉換十進位制：按權展開法

小數N，基數為r，從小數點右邊開始，小數點左邊為正，右邊為負

? = ?_?−1?_?−2 ⋯ ?₁?₀

= ?_?−1r^?−1 +?_?−2 r^?−2 + ⋯ + ?₁? + ?₀

例：? = (0.11001) = 1 ∗ 2⁻¹ + 1 ∗ 2⁻² + 1 ∗ 2⁻⁵ = 0.78125 = 25/32

例：? = (0.01011) = 1 ∗ 2⁻² + 1 ∗ 2⁻⁴ + 1 ∗ 2⁻⁵ = 0.34375 = 11/32

十進位制(小數)轉換二進位制

十進位制(小數)轉換二進位制：重複相乘法

重複乘以2
得積
取整數部分
結果按正序排列

十進位制(分數)轉換二進位制

十進位制(分數)轉換二進位制：重複相乘法

重複乘以2
得積：把假分數化為真分數
取1：取第一個數值
結果按正序排列

例：25/32轉化為二進位制

重複乘以2	得積	取1
25/32	50/32= 1+9/16	1	按
9/16	18/16= 1+1/8	1	正
1/8	1/4= 0+1/4	0	序
1/4	1/2= 0+1/2	0	排
1/2	1= 1+0	1	列
二進位制結果	0.11001

? = 0.11001 = 1 ∗ 2⁻¹ + 1 ∗ 2⁻² + 1 ∗ 2⁻⁵ = 0.78125=25/32

例：11/32轉化為二進位制

重複乘以2	得積	取1
11/32	11/16= 0+11/16	0	按
11/16	11/8= 1+3/8	1	正
3/8	3/4= 0+3/4	0	序
3/4	3/2= 1+1/2	1	排
1/2	1/1= 1+0	1	列
二進位制結果	0.01011

? = 0.01011 = 1 ∗ 2⁻² + 1 ∗ 2⁻⁴ + 1 ∗ 2⁻⁵ = 0.34375 = 11/32

2. 二進位制資料的表示方法

2.1 有符號數與無符號數

+表示正數，-表示負數

2.2 二進位制的原碼錶示法

原碼錶示法特點

規定符號位位於數值第一位
使用0表示正數、1表示負數
表達簡單明瞭，是人類最容易理解的表示法

0在原碼中有兩種表示方法：00、10

原碼進行運算非常複雜，特別是兩個運算元符號不同的時候

2.3 二進位制的補碼錶示法

補碼的定義

例子1：n=4，x=13，計算x的二進位制原碼和補碼

原碼：x=0,1101

補碼：x=0,1101

例子2：x=-13，計算x的二進位制原碼和補碼

原碼：x=1,1101

補碼：2^?+1 + ? = 2⁴⁺¹ − 13 = 100000 − 1101 = 1 0011（高亮部分為符號位）補碼：x=1,0011

例子3：x=-7，計算x的二進位制原碼和補碼

原碼：x=1,0111

補碼：2^?+1 + ? = 2⁴⁺¹ − 7 = 100000 − 0111 = 1 1001 補碼：x=1,1001

例子4：x=-1，計算x的二進位制原碼和補碼

原碼：x=1,0001

補碼：2^?+1~ + ? = 2⁴⁺¹ − 1 = 100000 − 0001 = 1 1111 補碼：x=1,1111

引進補碼的目的

使用加法代替減法操作，從而消除減法
減法運算複雜，希望找到使用正數替代負數的方法

但在計算補碼的過程中，還是使用了減法！！

2.4 二進位制的反碼錶示法

反碼的定義

例子1：x=-13，計算x的二進位制原碼和反碼

原碼：x=1,1101

反碼：(2^?+1−1) + ? = (2⁴⁺¹−1)− 13 = 011111 − 1101 = 1 0010（高亮部分為符號位）反碼：x=1,0010

例子2：x=-7，計算x的二進位制原碼和反碼

原碼：x=1,0111

反碼：(2^?+1−1) + ? = (2⁴⁺¹−1) − 7= 011111 − 0111 = 1 1000 反碼：x=1,1000

從以上兩個例子中可以看出按照定義求反碼依然有減法

引進反碼的目的

消除減法

通過以下規則求反碼可以消除減法的出現

負數的反碼等於原碼除符號位外按位取反

負數的補碼等於反碼+1

例子3：x=-7，計算x的二進位制原碼和反碼和補碼

原碼：x=1,0111

反碼：x=1,1000

補碼：x=1,1001

例子4：x=-9，計算x的二進位制原碼和反碼和補碼

原碼：x=1,1001

反碼：x=1,0110

補碼：x=1,0111

2.5 小數的二進位制補碼錶示

二進位制小數的補碼定義

負數的反碼等於原碼除符號位外按位取反

負數的補碼等於反碼+1

例子1：x= 9/16，計算x的二進位制原碼和反碼和補碼

原碼：x=0,0.1001 (重複相乘法)

反碼：x= 0,0.1001

補碼：x= 0,0.1001

例子2：x= -11/32，計算x的二進位制原碼和反碼和補碼

原碼：x=1,0.01011 (重複相乘法)

反碼：x=1,1.10100

補碼：x=1,1.10101

3. 二進位制資料的運算

3.1 定點數與浮點數

3.1.1 定點數的表示方法

定點數：小數點固定在某個位置的數稱之為定點數

3.1.2 浮點數的表示方法

浮點數的表示格式

舉例引入：

123450000000 = 1.2345 × 10¹¹（科學計數法）

1.2345：尾數

10：基數 11：階碼

浮點數的表示格式

S：尾數， r：基數， j：階碼

舉例

11.0101 = 0.110101 × 2¹⁰ 11.0101 = 0.0110101 × 2¹¹

浮點數的表示範圍

階碼錶示範圍： [−(?^? − ?), ?^? − ?]

尾數表示範圍： [−(? − ?^−?), −(?^−?)] [?^−?, ? − ?^−?]

浮點數的規格化

尾數規定使用純小數
尾數最高位必須是1

舉例

123450000000 = 1.2345 × 10¹¹

錯誤寫法：

舉例

11.0101 = 0.110101 × 2¹⁰

錯誤寫法：

例子1：設浮點數字長為16位，階碼為5位，尾數為11位，將十進位制數 13/128表示為二進位制浮點數。

利用重複相乘法求出原碼
原碼=反碼=補碼：? = 0.0001101000

例子2：設浮點數字長為16位，階碼為5位，尾數為11位，將十進位制數−54表示為二進位制浮點數。

原碼： ? = 1,110110

3.1.3 定點數與浮點數的對比

當定點數與浮點數位數相同時，浮點數表示的範圍更大
當浮點數尾數為規格化數時，浮點數的精度更高
浮點數運算包含階碼和尾數，浮點數的運算更為複雜
浮點數在數的表示範圍、精度、溢位處理、程式設計等方面均優於定點數
浮點數在數的運算規則、運算速度、硬體成本方面不如定點數

3.2 定點數的加減法運算

3.2.1 加法運算

整數加法：A[補] + B[補] = (? + ?)[補] (???2?+1)

小數加法：A[補] + B[補] = (? + ?)[補] (???2)

數值位與符號位一同運算，並將符號位產生的進位自然丟掉

例子1：A=-110010， B=001101，求A+B

A[補] = 1,001110

B[補]= B[原] = 0,001101

A[補] + B [補]= (A + B) [補] =1,011011

A + B = −100101

數值位與符號位一同運算，並將符號位產生的進位自然丟掉

例子2：A=-0.1010010， B=0.0110100，求A+B

A[補] = 1,1.0101110

B[補] = B[原] = 0,0.0110100

A[補] + B[補]= (A + B)[補] =1,1.1100010

A + B =-0.0011110

數值位與符號位一同運算，並將符號位產生的進位自然丟掉

例子3：A=-10010000， B=-01010000，求A+B

A[補] = 1, 01110000

B[補] = 1, 10110000

A[補] + B[補] = (A + B)[補] =1,00100000

A + B =-11100000

驗證：A = −144， B = −80 ， A + B = −224

數值位與符號位一同運算，並將符號位產生的進位自然丟掉

例子4：A=-10010000， B=-11010000，求A+B

A[補] = 1, 01110000

B[補] = 1, 00110000

A[補] + B[補] = (A + B) 補 = 0,10100000

A + B = 10100000

驗證：

A = −144， B = −208， A + B = 160

數值位與符號位一同運算，並將符號位產生的進位自然丟掉

3.3.2 判斷溢位

雙符號位判斷法
- 單符號位表示變成雙符號位：0=>00, 1=>11
- 雙符號位產生的進位丟棄
- 結果的雙符號位不同則表示溢位

再來看例子4：A=-10010000， B=-11010000，求A+B

A[補] = 1, 01110000

B[補] = 1, 00110000

再來看例子3：A=-10010000， B=-01010000，求A+B

A[補] = 1, 01110000

B[補] = 1, 10110000

(A + B)[原] = 11,11100000 = −11100000

3.2.3 減法運算

整數減法：A[補] − B[補] = ? + (−?)[補] (???2?+1)

小數減法：A[補] − B[補] = ? + (−?)[補] (???2)

-B[補]等於B[補]連同符號位按位取反，末位加一

B[補] = 1,0010101

(−B)[補] = 0,1101011

例子5：A=11001000， B=-00110100，求A-B

A[補] = A[原] = 0,11001000

B[補] = 1,11001100

(−B)[補] = 0,00110100

A[補] − B[補] = A[補] + (−B)[補] = A + (−B)[補]

A + (−B)[補] = 0,11111100

A − B = 111111100 （正數的補碼還是自身）

3.3 浮點數的加減法運算

? = ?_? × ?^?? ? = ?_? × ?^?y

操作流程

3.3.1 對階

浮點數尾數運算簡單
浮點數位數實際小數位與階碼有關
階碼按小階看齊大階的原則
対階的目的是使得兩個浮點數階碼一致，使得尾數可以進行運算

舉例

? = 0.1101 × 2⁰¹ , ? = (−0.1010) × 2¹¹，求 x+y

3.3.2 尾數求和

使用補碼進行運算
對於減法運算要轉化為加法運算：A - B = A + (-B)

原

原

補

補

補

3.3.3 尾數規格化（左移）

對補碼進行規格化需要判斷兩種情況：S>0 和 S<0

S[補] = 00.1xxxxxx(? > 0)
S[補] = 11.0xxxxxx(? < 0)

符號位與最高位不一致

如果不滿足此格式，即符號位與最高位一致，需要進行左移，同時階碼相應變化，以滿足規格化

補

補 左 移

補

原

因此：? + ? = −0.1110 × 2¹⁰

3.3.4 尾數規格化（右移）

一般情況下都是左移
雙符號位不一致下需要右移 (定點運算的溢位情況)
右移的話則需要進行舍入操作

3.3.5 舍入

“0舍1入”法（二進位制的四捨五入）

例1：

S [補] = 10.10110111

S [補] = 11.01011011(1) 【1次尾數右移，記得階碼要+1哦】

例2：

S [補] = 01.11111111

S [補] = 00.10000000(1)

S [補] = 01.00000000

S [補] = 00.1000000(0)【兩次右規，記得階碼要+2哦】

3.3.6 溢位判斷

定點運算雙符號位不一致為溢位
浮點運算尾數雙符號位不一致不算溢位【因為尾數雙符號位可以進行右規】
浮點運算主要通過階碼的雙符號位判斷是否溢位
如果規格化後，階碼雙符號位不一致，則認為是溢位

例子：? = 0.11010011 × 2¹¹⁰¹，? = 0.11101110 × 2¹¹⁰⁰，假設階碼4位，尾數8位，計算x + y

? + ?[原] = ? + ?[補] = 0.10100101 × 2¹¹¹⁰

3.3.7 浮點數的加減法運算總結

尾數右移1位：階碼加1

尾數左移1位：階碼減1

3.4 浮點數的乘除法運算

這部分作為了解

? = ?_? × ?^?? ? = ?_? × ?^?y

乘法：階碼相加，尾數求積

? × ? = ( ?_? × ?_? ) × ?^(??+?y)

除法：階碼相減，尾數求商

?/? = ( ?_? / ?_? ) × ?^(??−?y)

操作流程

例子：? = 0.11010011 × 21101，? = 0.11101110 × 20001，假設階碼4位，尾數8位，計算x * y

? × ? = ( ?_? × ?_? ) × ?^(??+?y)

= (0.11010011 × 0.11101110) × ?^1101+0001

= 0.11000100(保留八位) × ?¹¹¹⁰

計算機組成原理 - 計算篇

章節導學

1. 進位制運算的基本知識

1.1 進位制概述

1.2 二進位制運算的基礎

二進位制(整數)轉換十進位制

十進位制(整數)轉換二進位制

二進位制(小數)轉換十進位制

十進位制(小數)轉換二進位制

十進位制(分數)轉換二進位制

2. 二進位制資料的表示方法

2.1 有符號數與無符號數

2.2 二進位制的原碼錶示法

2.3 二進位制的補碼錶示法

2.4 二進位制的反碼錶示法

2.5 小數的二進位制補碼錶示

3. 二進位制資料的運算

3.1 定點數與浮點數

3.1.1 定點數的表示方法

3.1.2 浮點數的表示方法

浮點數的表示格式

浮點數的表示範圍

浮點數的規格化

3.1.3 定點數與浮點數的對比

3.2 定點數的加減法運算

3.2.1 加法運算

3.3.2 判斷溢位

3.2.3 減法運算

3.3 浮點數的加減法運算

3.3.1 對階

3.3.2 尾數求和

3.3.3 尾數規格化（左移）

3.3.4 尾數規格化（右移）

3.3.5 舍入

3.3.6 溢位判斷

3.3.7 浮點數的加減法運算總結

3.4 浮點數的乘除法運算

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