計算機組成原理 - 計算篇

章節導學

1. 進位制運算的基本知識

 

 

1.1 進位制概述

 

1. 進位制的定義

   • 有限種數字符號來表示無限的數值
   • 進位制是一種記數方式，亦稱進位計數法或位值計數法

• 使用的數字符號的數目稱為這種進位制的基數或底數

 

2. 常見的進位制

   • 二進位制
   • 八進位制
   • 十六進位制
   • 二十進位制
   • 六十進位制

 

 

1.2 二進位制運算的基礎

 

二進位制(整數)轉換十進位制

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二進位制(整數)轉換十進位制：按權展開法

正整數N，基數為r

? = ?_?−1?_?−2 ⋯ ?₁?₀

= ?_?−1r^?−1 +?_?−2 r^?−2 + ⋯ + ?₁? + ?₀

 

例：? = 01100101 = 1 ∗ 2⁶ + 1 ∗ 2⁵ + 1 ∗ 2² + 1 = 101

例：? = 11101101 = 1 ∗ 2⁷ + 1 ∗ 2⁶ + 1 ∗ 2⁵ + 1 ∗ 2³ + 1 ∗ 2² + 1 = 237

 

 

 

十進位制(整數)轉換二進位制

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十進位制(整數)轉換二進位制：重複相除法

例：(101)₁₀ = ( )₂

重複除以2	得商	取餘數
101/2	50	1
50/2	25	0	按
25/2	12	1	逆
12/2	6	0	序
6/2	3	0	排
3/2	1	1	列
1/2	0	1
二進位制結果	01100101

? = (01100101)₂ = 1 ∗ 2⁶ + 1 ∗ 2⁵ + 1 ∗ 2²+ 1 = (101)₁₀

 

例：237₁₀ = ( )₂

重複除以2	得商	取餘數
237/2	118	1
118/2	59	0	按
59/2	29	1	逆
29/2	14	1	序
14/2	7	0	排
7/2	3	1	列
3/2	1	1
1/2	0	1
二進位制結果	11101101

? = （11101101）₂ = 1 ∗ 2⁷ + 1 ∗ 2⁶ + 1 ∗ 2⁵ + 1 ∗ 2³ + 1 ∗ 2^2 + 1 = (237)₁₀

 

二進位制(小數)轉換十進位制

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二進位制(小數)轉換十進位制：按權展開法

小數N，基數為r，從小數點右邊開始，小數點左邊為正，右邊為負

? = ?_?−1?_?−2 ⋯ ?₁?₀

= ?_?−1r^?−1 +?_?−2 r^?−2 + ⋯ + ?₁? + ?₀

 

例：? = (0.11001) = 1 ∗ 2⁻¹ + 1 ∗ 2⁻² + 1 ∗ 2⁻⁵ = 0.78125 = 25/32

例：? = (0.01011) = 1 ∗ 2⁻² + 1 ∗ 2⁻⁴ + 1 ∗ 2⁻⁵ = 0.34375 = 11/32

 

十進位制(小數)轉換二進位制

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十進位制(小數)轉換二進位制：重複相乘法

1. 重複乘以2
2. 得積
3. 取整數部分
4. 結果按正序排列

 

十進位制(分數)轉換二進位制

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十進位制(分數)轉換二進位制：重複相乘法

1. 重複乘以2
2. 得積：把假分數化為真分數
3. 取1：取第一個數值
4. 結果按正序排列

 

例：25/32轉化為二進位制

重複乘以2	得積	取1
25/32	50/32= 1+9/16	1	按
9/16	18/16= 1+1/8	1	正
1/8	1/4= 0+1/4	0	序
1/4	1/2= 0+1/2	0	排
1/2	1= 1+0	1	列
二進位制結果	0.11001

? = 0.11001 = 1 ∗ 2⁻¹ + 1 ∗ 2⁻² + 1 ∗ 2⁻⁵ = 0.78125=25/32

 

例：11/32轉化為二進位制

重複乘以2	得積	取1
11/32	11/16= 0+11/16	0	按
11/16	11/8= 1+3/8	1	正
3/8	3/4= 0+3/4	0	序
3/4	3/2= 1+1/2	1	排
1/2	1/1= 1+0	1	列
二進位制結果	0.01011

? = 0.01011 = 1 ∗ 2⁻² + 1 ∗ 2⁻⁴ + 1 ∗ 2⁻⁵ = 0.34375 = 11/32

 

 

 

 

 

2. 二進位制資料的表示方法

2.1 有符號數與無符號數

+表示正數，-表示負數

 

2.2 二進位制的原碼錶示法

 

原碼錶示法特點

1. 規定符號位位於數值第一位
2. 使用0表示正數、1表示負數
3. 表達簡單明瞭，是人類最容易理解的表示法

 

0在原碼中有兩種表示方法：00、10

原碼進行運算非常複雜，特別是兩個運算元符號不同的時候

 

 

2.3 二進位制的補碼錶示法

補碼的定義

例子1：n=4，x=13，計算x的二進位制原碼和補碼

原碼：x=0,1101

補碼：x=0,1101

 

例子2：x=-13，計算x的二進位制原碼和補碼

原碼：x=1,1101

補碼：2^?+1 + ? = 2⁴⁺¹ − 13 = 100000 − 1101 = 1 0011（高亮部分為符號位） 補碼：x=1,0011

例子3：x=-7，計算x的二進位制原碼和補碼

原碼：x=1,0111

補碼：2^?+1 + ? = 2⁴⁺¹ − 7 = 100000 − 0111 = 1 1001 補碼：x=1,1001

 

例子4：x=-1，計算x的二進位制原碼和補碼

原碼：x=1,0001

補碼：2^?+1~ + ? = 2⁴⁺¹ − 1 = 100000 − 0001 = 1 1111 補碼：x=1,1111

 

引進補碼的目的

1. 使用加法代替減法操作，從而消除減法

2. 減法運算複雜，希望找到使用正數替代負數的方法

   但在計算補碼的過程中，還是使用了減法！！

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2.4 二進位制的反碼錶示法

反碼的定義

例子1：x=-13，計算x的二進位制原碼和反碼

原碼：x=1,1101

反碼：(2^?+1−1) + ? = (2⁴⁺¹−1)− 13 = 011111 − 1101 = 1 0010（高亮部分為符號位） 反碼：x=1,0010

 

例子2：x=-7，計算x的二進位制原碼和反碼

原碼：x=1,0111

反碼：(2^?+1−1) + ? = (2⁴⁺¹−1) − 7= 011111 − 0111 = 1 1000 反碼：x=1,1000

 

從以上兩個例子中可以看出按照定義求反碼依然有減法

 

引進反碼的目的

消除減法

 

通過以下規則求反碼可以消除減法的出現

負數的反碼等於原碼除符號位外按位取反

負數的補碼等於反碼+1

 

例子3：x=-7，計算x的二進位制原碼和反碼和補碼

原碼：x=1,0111

反碼：x=1,1000

補碼：x=1,1001

 

例子4：x=-9，計算x的二進位制原碼和反碼和補碼

原碼：x=1,1001

反碼：x=1,0110

補碼：x=1,0111

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2.5 小數的二進位制補碼錶示

二進位制小數的補碼定義

 

負數的反碼等於原碼除符號位外按位取反

負數的補碼等於反碼+1

 

例子1：x= 9/16，計算x的二進位制原碼和反碼和補碼

原碼：x=0,0.1001 (重複相乘法)

反碼：x= 0,0.1001

補碼：x= 0,0.1001

 

例子2：x= -11/32，計算x的二進位制原碼和反碼和補碼

原碼：x=1,0.01011 (重複相乘法)

反碼：x=1,1.10100

補碼：x=1,1.10101

---

 

 

 

 

 

3. 二進位制資料的運算

3.1 定點數與浮點數

 

3.1.1 定點數的表示方法

定點數：小數點固定在某個位置的數稱之為定點數

 

 

3.1.2 浮點數的表示方法

 

浮點數的表示格式

 

舉例引入：

123450000000 = 1.2345 × 10¹¹（科學計數法）

1.2345：尾數

10：基數 11：階碼

 

浮點數的表示格式

S：尾數 ， r：基數 ， j：階碼

舉例

11.0101 = 0.110101 × 2¹⁰ 11.0101 = 0.0110101 × 2¹¹

 

 

 

 

 

浮點數的表示範圍

 

階碼錶示範圍： [−(?^? − ?), ?^? − ?]

尾數表示範圍： [−(? − ?^−?), −(?^−?)] [?^−?, ? − ?^−?]

 

 

 

 

浮點數的規格化

1. 尾數規定使用純小數
2. 尾數最高位必須是1

 

舉例

123450000000 = 1.2345 × 10¹¹

錯誤寫法：

 

舉例

11.0101 = 0.110101 × 2¹⁰

錯誤寫法：

 

例子1：設浮點數字長為16位，階碼為5位，尾數為11位，將十進位制數 13/128表示為二進位制浮點數。

• 利用重複相乘法求出原碼
• 原碼=反碼=補碼：? = 0.0001101000

 

例子2：設浮點數字長為16位，階碼為5位，尾數為11位，將十進位制數−54表示為二進位制浮點數。

• 原碼： ? = 1,110110

 

 

3.1.3 定點數與浮點數的對比

1. 當定點數與浮點數位數相同時，浮點數表示的範圍更大
2. 當浮點數尾數為規格化數時，浮點數的精度更高
3. 浮點數運算包含階碼和尾數，浮點數的運算更為複雜
4. 浮點數在數的表示範圍、精度、溢位處理、程式設計等方面均優於定點數
5. 浮點數在數的運算規則、運算速度、硬體成本方面不如定點數

 

 

 

 

 

3.2 定點數的加減法運算

3.2.1 加法運算

整數加法：A[補] + B[補] = (? + ?)[補] (???2?+1)

小數加法：A[補] + B[補] = (? + ?)[補] (???2)

數值位與符號位一同運算，並將符號位產生的進位自然丟掉

 

例子1：A=-110010， B=001101，求A+B

A[補] = 1,001110

B[補]= B[原] = 0,001101

A[補] + B [補]= (A + B) [補] =1,011011

A + B = −100101

數值位與符號位一同運算，並將符號位產生的進位自然丟掉

 

例子2：A=-0.1010010， B=0.0110100，求A+B

A[補] = 1,1.0101110

B[補] = B[原] = 0,0.0110100

A[補] + B[補]= (A + B)[補] =1,1.1100010

A + B =-0.0011110

數值位與符號位一同運算，並將符號位產生的進位自然丟掉

 

例子3：A=-10010000， B=-01010000，求A+B

A[補] = 1, 01110000

B[補] = 1, 10110000

A[補] + B[補] = (A + B)[補] =1,00100000

A + B =-11100000

驗證：A = −144， B = −80 ， A + B = −224

數值位與符號位一同運算，並將符號位產生的進位自然丟掉

 

 

例子4：A=-10010000， B=-11010000，求A+B

A[補] = 1, 01110000

B[補] = 1, 00110000

A[補] + B[補] = (A + B) 補 = 0,10100000

A + B = 10100000

驗證：

A = −144， B = −208， A + B = 160

數值位與符號位一同運算，並將符號位產生的進位自然丟掉

 

 

 

3.3.2 判斷溢位

• 雙符號位判斷法

  • 單符號位表示變成雙符號位：0=>00, 1=>11
  • 雙符號位產生的進位丟棄
  • 結果的雙符號位不同則表示溢位

 

再來看例子4：A=-10010000， B=-11010000，求A+B

A[補] = 1, 01110000

B[補] = 1, 00110000

 

再來看例子3：A=-10010000， B=-01010000，求A+B

A[補] = 1, 01110000

B[補] = 1, 10110000

(A + B)[原] = 11,11100000 = −11100000

 

 

3.2.3 減法運算

整數減法：A[補] − B[補] = ? + (−?)[補] (???2?+1)

小數減法：A[補] − B[補] = ? + (−?)[補] (???2)

-B[補]等於B[補]連同符號位按位取反，末位加一

B[補] = 1,0010101

(−B)[補] = 0,1101011

 

例子5：A=11001000， B=-00110100，求A-B

A[補] = A[原] = 0,11001000

B[補] = 1,11001100

(−B)[補] = 0,00110100

A[補] − B[補] = A[補] + (−B)[補] = A + (−B)[補]

A + (−B)[補] = 0,11111100

A − B = 111111100 （正數的補碼還是自身）

 

 

 

3.3 浮點數的加減法運算

 

? = ?_? × ?^?? ? = ?_? × ?^?y

操作流程

 

 

3.3.1 對階

• 浮點數尾數運算簡單
• 浮點數位數實際小數位與階碼有關
• 階碼按小階看齊大階的原則
• 対階的目的是使得兩個浮點數階碼一致，使得尾數可以進行運算

 

舉例

? = 0.1101 × 2⁰¹ , ? = (−0.1010) × 2¹¹， 求 x+y

 

3.3.2 尾數求和

• 使用補碼進行運算
• 對於減法運算要轉化為加法運算：A - B = A + (-B)

 

 

3.3.3 尾數規格化（左移）

對補碼進行規格化需要判斷兩種情況：S>0 和 S<0

1. S[補] = 00.1xxxxxx(? > 0)

2. S[補] = 11.0xxxxxx(? < 0)

   符號位與最高位不一致

如果不滿足此格式，即符號位與最高位一致， 需要進行左移，同時階碼相應變化，以滿足規格化

 

因此：? + ? = −0.1110 × 2¹⁰

 

 

3.3.4 尾數規格化（右移）

1. 一般情況下都是左移
2. 雙符號位不一致下需要右移 (定點運算的溢位情況)
3. 右移的話則需要進行舍入操作

 

3.3.5 舍入

• “0舍1入”法（二進位制的四捨五入）

 

例1：

S [補] = 10.10110111

S [補] = 11.01011011(1) 【1次尾數右移，記得階碼要+1哦】

例2：

S [補] = 01.11111111

S [補] = 00.10000000(1)

S [補] = 01.00000000

S [補] = 00.1000000(0)【兩次右規，記得階碼要+2哦】

 

3.3.6 溢位判斷

• 定點運算雙符號位不一致為溢位
• 浮點運算尾數雙符號位不一致不算溢位【因為尾數雙符號位可以進行右規】
• 浮點運算主要通過階碼的雙符號位判斷是否溢位
• 如果規格化後，階碼雙符號位不一致，則認為是溢位

 

例子：? = 0.11010011 × 2¹¹⁰¹，? = 0.11101110 × 2¹¹⁰⁰，假設階碼4位，尾數8位，計算x + y

 

 

? + ?[原] = ? + ?[補] = 0.10100101 × 2¹¹¹⁰

 

 

 

3.3.7 浮點數的加減法運算總結

尾數右移1位：階碼加1

尾數左移1位：階碼減1

 

 

 

 

3.4 浮點數的乘除法運算

這部分作為了解

 

? = ?_? × ?^?? ? = ?_? × ?^?y

乘法：階碼相加，尾數求積

? × ? = ( ?_? × ?_? ) × ?^(??+?y)

除法：階碼相減，尾數求商

?/? = ( ?_? / ?_? ) × ?^(??−?y)

 

操作流程

 

 

例子：? = 0.11010011 × 21101，? = 0.11101110 × 20001，假設階碼4位，尾數8位，計算x * y

? × ? = ( ?_? × ?_? ) × ?^(??+?y)

= (0.11010011 × 0.11101110) × ?^1101+0001

= 0.11000100(保留八位) × ?¹¹¹⁰