揹包DP——完全揹包

完全揹包模型與 0-1 揹包類似，與 0-1 揹包的區別僅在於一個物品可以選取無限次，而非僅能選取一次。

而狀態轉移方程於01揹包區別在於可以直接從[i][j-w[i]]轉移

理由是當我們這樣轉移時，[i][j-w[i]]已經由 [i][j-2*w[i]]更新過，那麼 [i][j-w[i]]就是充分考慮了第 i 件物品所選次數後得到的最優結果。
換言之，我們透過區域性最優子結構的性質重複使用了之前的列舉過程，最佳化了列舉的複雜度。

例題

瘋狂的採藥

題目背景

此題為紀念 LiYuxiang 而生。

題目描述

LiYuxiang 是個天資聰穎的孩子，他的夢想是成為世界上最偉大的醫師。為此，他想拜附近最有威望的醫師為師。醫師為了判斷他的資質，給他出了一個難題。醫師把他帶到一個到處都是草藥的山洞裡對他說：“孩子，這個山洞裡有一些不同種類的草藥，採每一種都需要一些時間，每一種也有它自身的價值。我會給你一段時間，在這段時間裡，你可以採到一些草藥。如果你是一個聰明的孩子，你應該可以讓採到的草藥的總價值最大。”

如果你是 LiYuxiang，你能完成這個任務嗎？

此題和原題的不同點：

\(1\). 每種草藥可以無限制地瘋狂採摘。

\(2\). 藥的種類眼花繚亂，採藥時間好長好長啊！師傅等得菊花都謝了！

輸入格式

輸入第一行有兩個整數，分別代表總共能夠用來採藥的時間 \(t\) 和代表山洞裡的草藥的數目 \(m\)。

第 \(2\) 到第 \((m + 1)\) 行，每行兩個整數，第 \((i + 1)\) 行的整數 \(a_i, b_i\) 分別表示採摘第 \(i\) 種草藥的時間和該草藥的價值。

輸出格式

輸出一行，這一行只包含一個整數，表示在規定的時間內，可以採到的草藥的最大總價值。

樣例 #1

樣例輸入 #1

70 3
71 100
69 1
1 2

樣例輸出 #1

140

提示

資料規模與約定

• 對於 \(30\%\) 的資料，保證 \(m \le 10^3\) 。
• 對於 \(100\%\) 的資料，保證 \(1 \leq m \le 10^4\)，\(1 \leq t \leq 10^7\)，且 \(1 \leq m \times t \leq 10^7\)，\(1 \leq a_i, b_i \leq 10^4\)。

Coce

點選檢視程式碼

const int maxn = 1e7 + 10;
int dp[maxn], w[maxn], v[maxn];
void solve() {
    int n, m;
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> w[i] >> v[i];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = w[i]; j <= m; j++) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
        }
    }

    cout << dp[m];
}