01揹包問題

有 N 件物品和一個容量是 V 的揹包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的體積是 vi，價值是 wi。

求解將哪些物品裝入揹包，可使這些物品的總體積不超過揹包容量，且總價值最大。
輸出最大價值。

輸入格式

第一行兩個整數，N，V用空格隔開，分別表示物品數量和揹包容積。

接下來有 N 行，每行兩個整數 vi,wi，用空格隔開，分別表示第 ii 件物品的體積和價值。

輸出格式i

輸出一個整數，表示最大價值。

資料範圍

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

輸入樣例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

輸出樣例：

8

解法一

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e3+5;
int v[N],w[N];//v體積,w價值
int f[N][N];//表示只看前i個物體，總體積是j的情況下，總價值最大是多少。

// result = max{f[n][0~V]}
// 1.不選第i個物體,f[i][j] = f[i-1][j]
// 2.選第i個物體,f[i][j] = f[i-1][j-v[i]]
int main(){
    int n,bag_size;//物品數量和揹包容積
    cin>>n>>bag_size;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=bag_size;j++){
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if(j>=v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    //int res = 0;
    //for(int i=0;i<=bag_size;i++) res = max(res,f[n][i]);
    cout<<f[n][bag_size]<<endl;
    return 0;
}

解法二

#include<iostream>#
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e3+5;
int v[N],w[N];//v[]體積,w[]價值
int f[N];

int main(){
    int n,bag_size;//物品數量和揹包容積
    cin>>n>>bag_size;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=bag_size;j>=v[i];j--)
             f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
             
    cout<<f[bag_size]<<endl;
    return 0;
}

完全揹包問題（相比於01揹包，區別就是每種物體可以取無限個）

解法一

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e3+5;
int v[N],w[N];//v體積,w價值
int f[N][N];//表示只看前i個物體，總體積是j的情況下，總價值最大是多少
int main(){
    int n,bag_size;//物品數量和揹包容積
    cin>>n>>bag_size;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=bag_size;j++){
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if(j>=v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//樸素做法唯一改變點
        }
    cout<<f[n][bag_size]<<endl;
    return 0;
}

解法二

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N =1e3+10;
int v[N],w[N],f[N];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=v[i];j<=m;j++)
          f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    cout<<f[m];
    return 0;
}

1. 01揹包：f(i,j) = max(f(i-1,j),f(i-1,j-v[i])+w[i])

2. 完全揹包：f(i,j) = max(f(i-1,j),f(i,j-v[i])+w[i])

解法參考出處：acwing （yxc）