[每日一題] 第十七題：青蛙跳臺階問題

一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級臺階。求該青蛙跳上一個 n 級的臺階總共有多少種跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如計算初始結果為：1000000008，請返回 1。

示例 1：

輸入：n = 2
輸出：2

示例 2：

輸入：n = 7
輸出：21

提示：

0 <= n <= 100

方法一：我的做法

本題很容易看出是遞迴方法來，同斐波那契數列很相似。

這裡我列出幾個注意事項：

F(0)=1，F(1)=1
F(N) = F(N-1) + F(N-2)
要把之前的結果儲存下來，這樣就不會重複計算
答案一定記得要取模，不然無法透過

程式碼

class Solution {
    public int numWays(int n) {
        if (n <= 1) {
            return 1;
        }
        int[] nums = new int[n+1];
        nums[0] = 1;
        nums[1] = 1;

        int current = 2;

        while (current <= n) {
            nums[current] = (nums[current-1] + nums[current-2]) % 1000000007;
            current++;
        }

        return nums[n];
    }
}

複雜度

時間複雜度 O(N)：計算 f(n) 需迴圈 n 次，每輪迴圈內計算操作使用 O(1) 。
空間複雜度 O(N)：因為新建立了個 nums 陣列，需要額外的 N 個空間

方法二：動態規範

解題思路：

此類求多少種可能性的題目一般都有 遞推性質，即 f(n) 和 f(n-1) …… f(1) 之間是有聯絡的。

設跳上 n 級臺階有 f(n) 種跳法，在所有跳法中，青蛙的最後一步只有兩種情況，跳上 1 級或 2 級臺階。
1. 當為 1 級臺階： 剩 n - 1 個臺階，此情況共有 f(n-1) 種跳法；
2. 當為 2 級臺階： 剩 n - 2 個臺階，此情況共有 f(n-2) 種跳法。
f(n) 為以上兩種情況之和，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)，以上遞推性質為斐波那契數列。本題可轉化為求斐波那契數列第 n 項的值，但起始數字不同。
- 青蛙跳臺階問題：f(0)=1，f(1)=1，f(2)=2
- 斐波那契數列問題：f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1

[每日一題] 第十七題：青蛙跳臺階問題

斐波那契數列的定義是 f(n + 1) = f(n) + f(n - 1) ，生成第 n 項的做法有以下幾種：

遞迴法：
原理： 把 f(n) 問題的計算拆分成 f(n−1) 和 f(n−2) 兩個子問題的計算，並遞迴，以 f(0) 和 f(1) 為終止條件。
缺點： 大量重複的遞迴計算，例如 f(n) 和 f(n−1) 兩者向下遞迴都需要計算 f(n−2) 的值。
記憶化遞迴法：
原理： 在遞迴法的基礎上，新建一個長度為 n 的陣列，用於在遞迴時儲存 f(0) 至 f(n) 的數字值，重複遇到某數字時則直接從陣列取用，避免了重複的遞迴計算。
缺點： 記憶化儲存的陣列需要使用 O(N) 的額外空間。
動態規劃：
原理： 以斐波那契數列性質 f(n+1)=f(n)+f(n−1) 為轉移方程。
從計算效率、空間複雜度上看，動態規劃是本題的最佳解法。

動態規劃解析：

狀態定義： 設 dp 為一維陣列，其中 dp[i] 的值代表 斐波那切數列第 i 個數字。
轉移方程： dp[i+1] = dp[i] + dp[i-1]，即對應數列定義 f(n+1)=f(n)+f(n-1)；
初始狀態： dp[0] = 1，dp[1] = 1，即初始化前兩個數字；
返回值： dp[n]，即斐波那切數列第 n 個數字。

空間複雜度最佳化：

若新建長度為 n 的 dp 列表，則空間複雜度為 O(N)。

由於 dp 列表第 i 項只與第 i-1 和第 i-2 項有關，因此只需要初始化三個整形變數，sum，a，b，利用輔助變數 sum 使 a，b兩數字交替前進即可（具體實現見程式碼）。
因為節省了 dp 列表空間，因此空間複雜度降至 O(1)。

迴圈求餘法：

大數越界，隨著 n 增大，f(n) 會超過 Int32 甚至 Int64 的取值範圍，導致最終的返回值錯誤。

求餘運算規則： 設正整數 x，y，p，求餘符號為 ⊙ ，則有 (x+y)⊙p=(x⊙p+y⊙p)⊙p 。
解析： 根據以上規則，可推出 f(n)⊙p = [f(n−1)⊙p+f(n−2)⊙p]⊙p ，從而可以在迴圈過程中每次計算 sum=a+b⊙1000000007 ，此操作與最終返回前取餘等價。

複雜度：

時間複雜度 O(N)：計算 f(n) 需迴圈 n 次，每輪迴圈內計算操作使用 O(1) 。
空間複雜度 O(1)：幾個標誌變數使用常數大小的額外空間。

解法來源

作者：jyd
連結：leetcode-cn.com/problems/qing-wa-t...
來源：力扣（LeetCode）

來源：力扣（LeetCode）
連結：leetcode-cn.com/problems/qing-wa-t...
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[每日一題] 第十七題：青蛙跳臺階問題

方法一：我的做法

程式碼

複雜度

方法二：動態規範

複雜度：

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