每日一題

這個題就比較簡單了

$$a_0=1,\forall k\in {\mathbb{N}}_{+},a_{k+1}=\frac{1}{a_k+1}$$

求：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$$

解法

思路很明確，題目很簡單，先證明極限存在，再通過解極限方程得到極限值。

先試著寫出前幾項：

{ 1 , 1 2 , 2 3 , 3 5 , 5 8 , ⋯   } \{1, \frac{1}{2}, \frac{2}{3},\frac{3}{5},\frac{5}{8}, \cdots\} {1,21​,32​,53​,85​,⋯}

證法一：單調有界收斂

顯然 $\forall k,a_k>0$，覺得不顯然的話，可以數學歸納法 $a_k>0\to a_{k+1}>0$。

將數列按照下標的奇偶性拆分成兩個數列：

x k = a 2 k , y k = a 2 k + 1 , k ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯   } x_k = a_{2k}, y_k=a_{2k+1}, k\in \{0, 1, 2, \cdots\} xk​=a2k​,yk​=a2k+1​,k∈{0,1,2,⋯}

即有

$$x_0=a_0=0,y_0=a_1=\frac{1}{2}$$

這個時候對於任意的 k ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯   } k \in \{0, 1, 2, \cdots\} k∈{0,1,2,⋯} 都有：

$$x_{k+1}=\frac{1}{\frac{1}{x_k+1}+1}=1-\frac{1}{x_k+2}$$

$$y_{k+1}=\frac{1}{\frac{1}{y_k+1}+1}=1-\frac{1}{y_k+2}$$

做差得：

$$x_{k+1}-x_k=\frac{-x_k^2-x_k+1}{x_k+2}$$

$$y_{k+1}-y_k=\frac{-y_k^2-y_k+1}{y_k+2}$$

接下來，證明 $x_k$ 與 $y_k$ 的單調性

若

$$x_k>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$

那麼就有

$$x_k+2>\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$

$$\frac{1}{x_k+2}<\frac{2}{3+\sqrt{5}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

$$x_{k+1}=1-\frac{1}{x_k+2}>1-\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$

而因為

$$x_0=1>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$

因此

$$\forall k\in \mathbb{N},x_k>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$

此時有

$$-x_k^2-x_k+1<0$$

因此，數列 $x_k$ 單調遞減，且有下界 $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，即數列 $x_k$ 極限存在。

用同樣的方法，我們也能夠證明

$$\forall k\in \mathbb{N},y_k<\frac{-1+\sqrt{5}}{2},y_{k+1}>y_k$$

因此，數列 $y_k$ 單調遞增且有上界，數列 $y_k$極限存在。

列出極限方程：

$$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{k+1}=\underset{k\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{x_k+2})$$

$$\underset{k\to \infty }{\lim }{y}_{k+1}=\underset{k\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{y_k+2})$$

解得：

$$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_k=\underset{k\to \infty }{\lim }{y}_k=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$

（負值捨去）

因此，原數列 $a_k$ 的極限為：

$$\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_k=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$

證法二：斐波那契數列

通過上面給出的數列前幾項，不難發現：

$$a_k=\frac{f_k}{f_{k+1}}$$

其中數列 $f$ 的定義如下：

$$f_0=f_1=1$$

∀ k ∈ { 2 , 3 , ⋯   } , f k = f k − 1 + f k − 2 \forall k\in \{2, 3, \cdots\}, f_k=f_{k-1}+f_{k-2} ∀k∈{2,3,⋯},fk​=fk−1​+fk−2​

也就是我們常說的斐波那契數列。

這一結論可以通過數學歸納法證明：

首先，這一性質對 $a_0,a_1$ 顯然成立。

然後，假設這一性質對 $a_k$ 成立，即 $a_k=\frac{f_k}{f_{k+1}}$，那麼就有：

$$a_{k+1}=\frac{1}{a_k+1}=\frac{f_{k+1}}{f_k+f_{k+1}}=\frac{f_{k+1}}{f_{k+2}}$$

也就是說，這條性質對 $a_{k+1}$ 也成立。

綜上：

$$\forall k\in \mathbb{N},a_k=\frac{f_k}{f_{k+1}}$$

不難證明，斐波那契數列的通項公式為：

$$f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left({\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{n+1}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{n+1}\right)$$

證明方法太多，讀者自行百度。

此時有：

$$\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_k=\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{f_k}{f_{k+1}}={\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{-1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$

$Q.E.D.$