稀疏矩陣轉置

矩陣是線性代數中的一個知識，剛開始學習的時候可能感覺不到它有什麼用處，最初的感覺就是對二維資料的操作。其實現實生活中矩陣的用處太大了，設計領域相當的廣泛。在此只討論稀疏矩陣的轉置問題；

可能看到矩陣就會想到二維陣列，比如這樣一個矩陣：

你可能會想到用二維陣列來存放此矩陣中的元素，就像這樣：int text[][5] = {{0,5,6,0,4},{0,0,0,0,0},{1,0,0,0,0},{1,0,0,0,0},{0,2,0,0,1}};

這樣好像也沒有什麼不好。我們再來看看這個矩陣，五行五列，可以包含二十五個元素，但是此矩陣只有七個元素。但是我們在存放資料的時候分配了二十五塊int單元。這樣是不是有點太浪費了。如果我們只儲存這七個元素我想會節省一部分記憶體空間。但是如果我們只儲存矩陣中的元素還是不行的，因為只有元素我們就無法還原矩陣，我們還需要此元素的行列值。這樣就好辦了。我們宣告一個結構體來表示一個元素。就像這樣：

typedef struct juzhen { int row; //行 int col; //列 int value; //元素值 };

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typedef struct juzhen {      int row;        //行      int col;        //列      int value;        //元素值 };

這樣儲存一個元素就會用到三個儲存單元，七個就是二十一個儲存單元，可能與二十五個沒多大差別，但是如果矩陣的行列是一個很大的值，而且又是稀疏矩陣，這樣做就可以節省很大的空間。這種儲存結構只限於稀疏矩陣。

解決了儲存結構，就開始矩陣的轉置吧！！！

首先我們需要一個矩陣，就按照上圖給的矩陣好了，按照此矩陣做一個二維陣列：

int text[][5] = {{0,5,6,0,4},{0,0,0,0,0},{1,0,0,0,0},{1,0,0,0,0},{0,2,0,0,1}};

1	int text[][5] = {{0,5,6,0,4},{0,0,0,0,0},{1,0,0,0,0},{1,0,0,0,0},{0,2,0,0,1}};

就像這樣；我們需要定義一個陣列來表示稀疏矩陣，並賦值；

#define MAX_TERM 15 struct juzhen a[MAX_TERM]; //存放矩陣中元素數值不為零的元素 int chushi(struct juzhen a[MAX_TERM]) //初始化稀疏矩陣 { int count_value = 0; //統計矩陣中元素數值不為零的元素的總和 int i,j; int count_a = 1; for(i = 0;i < N;i++) { for(j = 0;j < N;j++) { if(text[i][j] != 0) { a[count_a].row = i; a[count_a].col = j; a[count_a].value = text[i][j]; count_a++; } } } a[0].col = 5; //矩陣的總列數 a[0].row = 5; //矩陣的總行數 a[0].value = --count_a; //矩陣中的元素個數 return count_a; }

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#define MAX_TERM 15   struct juzhen a[MAX_TERM];        //存放矩陣中元素數值不為零的元素   int chushi(struct juzhen a[MAX_TERM])            //初始化稀疏矩陣 {     int count_value = 0;    //統計矩陣中元素數值不為零的元素的總和     int i,j;     int count_a = 1;     for(i = 0;i < N;i++)     {         for(j = 0;j < N;j++)         {             if(text[i][j] != 0)             {                 a[count_a].row = i;                 a[count_a].col = j;                 a[count_a].value = text[i][j];                 count_a++;             }         }     }     a[0].col = 5;            //矩陣的總列數     a[0].row = 5;            //矩陣的總行數     a[0].value = --count_a;    //矩陣中的元素個數       return count_a; }

在初始化矩陣陣列的時候為了方便轉置矩陣時的操作，我們把陣列的第一個元素設定為矩陣的列數，行數和元素總數；

矩陣有了，存放矩陣元素的陣列也有了。接下來就是轉置矩陣的函式了。

我們在轉置矩陣的時候會需要一個陣列來儲存轉置後的矩陣，定義為：

struct juzhen b[MAX_TERM];//轉置後的矩陣

1	struct juzhen b[MAX_TERM];//轉置後的矩陣

主要思想，兩層迴圈，第一層迴圈控制矩陣的行，第二層迴圈控制陣列a的行。由於轉置矩陣即把矩陣中元素的列行對換一下，並且按照行排序；所以我們在第二層迴圈中做一個判斷，if(a[j].col == i) 【i控制第一層迴圈，j控制第二層迴圈】 如果為真值則執行：

b[count_b].row = a[j].col; b[count_b].col = a[j].row; b[count_b].value = a[j].value;

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b[count_b].row = a[j].col; b[count_b].col = a[j].row; b[count_b].value = a[j].value;

整個函式如下：

void zhuanzhi_1(struct juzhen a[MAX_TERM],struct juzhen b[MAX_TERM]) //轉置矩陣方法一 { int i,j; int count_b = 1; //b的當前元素下標 b[0].row = a[0].col;　　 b[0].col = a[0].row; b[0].value = a[0].value; for(i = 0;i < a[0].col;i++) { for(j = 1;j <= a[0].value;j++) { if(a[j].col == i)　　　　//有種排序效果 { b[count_b].row = a[j].col; b[count_b].col = a[j].row; b[count_b].value = a[j].value; count_b++; } } } }

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void zhuanzhi_1(struct juzhen a[MAX_TERM],struct juzhen b[MAX_TERM])            //轉置矩陣方法一 {     int i,j;     int count_b = 1;        //b的當前元素下標     b[0].row = a[0].col;　　     b[0].col = a[0].row;     b[0].value = a[0].value;     for(i = 0;i < a[0].col;i++)     {         for(j = 1;j <= a[0].value;j++)         {             if(a[j].col == i)　　　　//有種排序效果             {                 b[count_b].row = a[j].col;                 b[count_b].col = a[j].row;                 b[count_b].value = a[j].value;                 count_b++;             }         }     } }

用此方法可以有效的轉置矩陣，我們來看一下此函式的時間複雜度：O(cols * elements)——矩陣的列*矩陣的元素總和；

如果元素很多就會浪費很多的時間。有沒有辦法讓兩層迴圈變成一層迴圈呢？付出空間上的代價，換取時間效率；

我們只用一層迴圈來遍歷陣列a中所有元素，並把該元素放到指定的位置。這樣我們就需要一個陣列star來存放第i個元素所在位置。在定義這個陣列之前，我們還需要一個陣列term來實現統計矩陣第i行元素的數量。這樣我們才能更方便的知道第i個元素應該存放的位置。

int term[N],star[N]; //儲存轉置矩陣第i行元素的數量 儲存第i行開始位置 int n = a[0].value; int i,j,k; int b_star; for(i = 0;i < N;i++) term[i] = 0; for(j = 0;j <= n;j++) term[a[j].col]++; star[0] = 1; for(k = 1;k < N;k++) star[k] = star[k - 1] + term[k - 1];

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int term[N],star[N];        //儲存轉置矩陣第i行元素的數量  儲存第i行開始位置     int n = a[0].value; int i,j,k; int b_star;   for(i = 0;i < N;i++)         term[i] = 0;   for(j = 0;j <= n;j++)     term[a[j].col]++;      star[0] = 1; for(k = 1;k < N;k++)     star[k] = star[k - 1] + term[k - 1];

第一個迴圈初始化term，每個元素都為零。第二個迴圈是為了統計第i行元素的數量。第三個迴圈是設定第i個元素所在的位置。因為陣列a的第一個元素是存放行列和元素的總數，因此第三個迴圈要從k = 1開始。此時兩個陣列的元素為：

下一步就是遍歷a中的所有元素，然後根據a[i].col的值來把a[i].value放到指定的位置。

b[0].col = a[0].col; b[0].row = a[0].row; b[0].value = a[0].value; for(i = 1;i <= n;i++) { b_star = star[a[i].col]++; b[b_star].col = a[i].row; b[b_star].row = a[i].col; b[b_star].value = a[i].value; }

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b[0].col = a[0].col;     b[0].row = a[0].row;     b[0].value = a[0].value;     for(i = 1;i <= n;i++)     {         b_star = star[a[i].col]++;         b[b_star].col = a[i].row;         b[b_star].row = a[i].col;         b[b_star].value = a[i].value;     }

需要注意的是b的第一個元素與a中的第一個元素是同樣的。b_star = star[a[i].col]++;因為當term[1] = 2;而star[1] = 3;就是a[i].col = 1時有兩個元素，第一個元素的位置是star[a[i].col];而第二個元素的位置就是star[a[i].col] + 1所以在此用star[a[i].col]++。為下一個元素設定相應的位置；

完整函式：

void zhuanhuan_2(struct juzhen a[MAX_TERM],struct juzhen b[MAX_TERM]) { int term[N],star[N]; //儲存轉置矩陣第i行元素的數量 儲存第i行開始位置 int n = a[0].value; int i,j,k; int b_star; for(i = 0;i < N;i++) term[i] = 0; for(j = 1;j <= n;j++) term[a[j].col]++; star[0] = 1; for(k = 1;k < N;k++) star[k] = star[k - 1] + term[k - 1]; b[0].col = a[0].col; b[0].row = a[0].row; b[0].value = a[0].value; for(i = 1;i <= n;i++) { b_star = star[a[i].col]++; b[b_star].col = a[i].row; b[b_star].row = a[i].col; b[b_star].value = a[i].value; } }

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void zhuanhuan_2(struct juzhen a[MAX_TERM],struct juzhen b[MAX_TERM]) {     int term[N],star[N];        //儲存轉置矩陣第i行元素的數量  儲存第i行開始位置         int n = a[0].value;     int i,j,k;     int b_star;       for(i = 0;i < N;i++)             term[i] = 0;       for(j = 1;j <= n;j++)         term[a[j].col]++;          star[0] = 1;     for(k = 1;k < N;k++)         star[k] = star[k - 1] + term[k - 1];       b[0].col = a[0].col;     b[0].row = a[0].row;     b[0].value = a[0].value;     for(i = 1;i <= n;i++)     {         b_star = star[a[i].col]++;         b[b_star].col = a[i].row;         b[b_star].row = a[i].col;         b[b_star].value = a[i].value;     }   }

此函式每個迴圈體的執行次數分別為cols cols elements elements 時間複雜度為O(cols + elements)和O(cols * elements)相差好多，尤其是clos 和 elements很大的時候；

完整的測試程式：

#include<stdio.h> #define N 5 #define MAX_TERM 15 typedef struct juzhen { int row; //行 int col; //列 int value; //元素值 }; int text[][5] = {{0,5,6,0,4},{0,0,0,0,0},{1,0,0,0,0},{1,0,0,0,0},{0,2,0,0,1}}; struct juzhen a[MAX_TERM]; //存放矩陣中元素數值不為零的元素 struct juzhen b[MAX_TERM]; //轉置後的矩陣 int chushi(struct juzhen a[MAX_TERM]) //初始化稀疏矩陣 { int count_value = 0; //統計矩陣中元素數值不為零的元素的總和 int i,j; int count_a = 1; for(i = 0;i < N;i++) { for(j = 0;j < N;j++) { if(text[i][j] != 0) { a[count_a].row = i; a[count_a].col = j; a[count_a].value = text[i][j]; count_a++; } } } a[0].col = 5; //矩陣的總列數 a[0].row = 5; //矩陣的總行數 a[0].value = --count_a; //矩陣中的元素個數 return count_a; } void showjuzhen(struct juzhen a[MAX_TERM],int count_a) //顯示稀疏矩陣 { int i,j; int text = 1; for(i = 0;i < N;i++) { for(j = 0;j < N;j++) { if(a[text].row == i && a[text].col == j) { printf(" %d ",a[text].value); text++; } else printf(" 0 "); } printf("\n"); } } void showjuzhen_2(struct juzhen a[MAX_TERM],int count_a) //顯示稀疏矩陣方法二 { int i; printf(" i row col val\n"); for(i = 0;i < count_a + 1;i++) { printf(" %d| %d %d %d\n",i,a[i].row,a[i].col,a[i].value); } } void zhuanzhi_1(struct juzhen a[MAX_TERM],struct juzhen b[MAX_TERM]) //轉置矩陣方法一 { int i,j; int count_b = 1; //b的當前元素下標 b[0].row = a[0].col; b[0].col = a[0].row; b[0].value = a[0].value; for(i = 0;i < a[0].col;i++) { for(j = 1;j <= a[0].value;j++) { if(a[j].col == i) { b[count_b].row = a[j].col; b[count_b].col = a[j].row; b[count_b].value = a[j].value; count_b++; } } } } void zhuanhuan_2(struct juzhen a[MAX_TERM],struct juzhen b[MAX_TERM]) { int term[N],star[N]; int n = a[0].value; int i,j,k; int b_star; for(i = 0;i < N;i++) term[i] = 0; for(j = 0;j <= a[0].value;j++) term[a[j].col]++; star[0] = 1; for(k = 1;k < N;k++) star[k] = star[k - 1] + term[k - 1]; b[0].col = a[0].col; b[0].row = a[0].row; b[0].value = a[0].value; for(i = 1;i <= n;i++) { b_star = star[a[i].col]++; b[b_star].col = a[i].row; b[b_star].row = a[i].col; b[b_star].value = a[i].value; } for(i = 0;i < a[0].value + 1;i++) printf(" %d| %d %d %d\n",i,b[i].row,b[i].col,b[i].value); } int main(void) { int count_a; count_a = chushi(a); showjuzhen(a,count_a); showjuzhen_2(a,count_a); printf("\n"); zhuanhuan_2(a,b); //zhuanzhi_1(a,b); //showjuzhen(b,count_a); //showjuzhen_2(b,count_a); //return 0; }

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#include<stdio.h> #define N 5 #define MAX_TERM 15   typedef struct juzhen {     int row;        //行     int col;        //列     int value;        //元素值 };   int text[][5] = {{0,5,6,0,4},{0,0,0,0,0},{1,0,0,0,0},{1,0,0,0,0},{0,2,0,0,1}}; struct juzhen a[MAX_TERM];        //存放矩陣中元素數值不為零的元素 struct juzhen b[MAX_TERM];        //轉置後的矩陣   int chushi(struct juzhen a[MAX_TERM])            //初始化稀疏矩陣 {     int count_value = 0;    //統計矩陣中元素數值不為零的元素的總和     int i,j;     int count_a = 1;     for(i = 0;i < N;i++)     {         for(j = 0;j < N;j++)         {             if(text[i][j] != 0)             {                 a[count_a].row = i;                 a[count_a].col = j;                 a[count_a].value = text[i][j];                 count_a++;             }         }     }     a[0].col = 5;            //矩陣的總列數     a[0].row = 5;            //矩陣的總行數     a[0].value = --count_a;    //矩陣中的元素個數       return count_a; }   void showjuzhen(struct juzhen a[MAX_TERM],int count_a)        //顯示稀疏矩陣 {     int i,j;     int text = 1;     for(i = 0;i < N;i++)     {         for(j = 0;j < N;j++)         {             if(a[text].row == i && a[text].col == j)             {                 printf(" %d ",a[text].value);                 text++;             }             else                 printf(" 0 ");         }         printf("\n");     }   }   void showjuzhen_2(struct juzhen a[MAX_TERM],int count_a)            //顯示稀疏矩陣方法二 {     int i;     printf(" i row col val\n");     for(i = 0;i < count_a + 1;i++)     {         printf(" %d|  %d   %d   %d\n",i,a[i].row,a[i].col,a[i].value);     } }     void zhuanzhi_1(struct juzhen a[MAX_TERM],struct juzhen b[MAX_TERM])            //轉置矩陣方法一 {     int i,j;     int count_b = 1;        //b的當前元素下標     b[0].row = a[0].col;     b[0].col = a[0].row;     b[0].value = a[0].value;     for(i = 0;i < a[0].col;i++)     {         for(j = 1;j <= a[0].value;j++)         {             if(a[j].col == i)             {                 b[count_b].row = a[j].col;                 b[count_b].col = a[j].row;                 b[count_b].value = a[j].value;                 count_b++;             }         }     } }     void zhuanhuan_2(struct juzhen a[MAX_TERM],struct juzhen b[MAX_TERM]) {     int term[N],star[N];             int n = a[0].value;     int i,j,k;     int b_star;       for(i = 0;i < N;i++)             term[i] = 0;       for(j = 0;j <= a[0].value;j++)         term[a[j].col]++;          star[0] = 1;     for(k = 1;k < N;k++)         star[k] = star[k - 1] + term[k - 1];       b[0].col = a[0].col;     b[0].row = a[0].row;     b[0].value = a[0].value;     for(i = 1;i <= n;i++)     {         b_star = star[a[i].col]++;         b[b_star].col = a[i].row;         b[b_star].row = a[i].col;         b[b_star].value = a[i].value;     }         for(i = 0;i < a[0].value + 1;i++)         printf(" %d|  %d   %d   %d\n",i,b[i].row,b[i].col,b[i].value);   }   int main(void) {     int count_a;     count_a = chushi(a);     showjuzhen(a,count_a);     showjuzhen_2(a,count_a);     printf("\n");     zhuanhuan_2(a,b);     //zhuanzhi_1(a,b);     //showjuzhen(b,count_a);     //showjuzhen_2(b,count_a);     //return 0; }