洛谷 P1216 數字三角形

題目連結：數字三角形

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思路

dp：金字塔頂的元素為起點，金字塔每行的最左側數字只能從上一層的最左側數字到達，如7 -> 3 -> 8 -> 2 -> 4，這些數字中的每一個（除起點7外）都只能從上一層的最左側數字到達，遞推公式為dp[i][1] = max(dp[i][1], num[i][1] + dp[i - 1][1]，最右側數字同理，遞推公式為dp[i][i] = max(dp[i][i], num[i][i] + dp[i - 1][i - 1]，而中間的數字可以由上層相鄰的兩個數字到達，遞推公式為dp[i][j] = max(dp[i][i], num[i][j] + dp[i - 1][j - 1], num[i][j] + dp[i - 1][j]。
最佳化：由於儲存時使用的邊界值為1，所以金字塔的最左側和最右側的數字的遞推公式可以統一為dp[i][j] = max(dp[i][i], num[i][j] + dp[i - 1][j - 1], num[i][j] + dp[i - 1][j]，然後發現每次遞推時只需要使用兩層的資料，所以將空間複雜度最佳化為O(2 * n)，然後每次使用第一層計算出第二層之後，第一層的dp陣列就不會再被使用，此時將第二層的dp陣列賦值給第一層的dp陣列，再用此時的第一層的dp陣列計算出第二層的dp陣列，一直遞推即可得到第r層的dp陣列，然後再對第r層的dp陣列取最大值即可得到結果。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e5 + 10;
int dp[2][N], num[N];
int main() {
  int r;
  cin >> r;
  for (int i = 1; i <= r; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        cin >> num[j];
    }
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
      dp[1][j] = num[j] + max(dp[0][j], dp[0][j - 1]);
    }
    swap(dp[0], dp[1]);
  }

  int res = 0;
  for (int i = 1; i <= r; i++) {
    res = max(res, dp[0][i]);
  }

  cout << res  << endl;

  return 0;
}