轉自原文 MATLAB插值
插值問題
在應用領域中，由有限個已知資料點，構造一個解析表示式，由此計算資料點之間的函式值，稱之為插值。
例項：海底探測問題
某公司用聲納對海底進行測試，在5×5海里的座標點上測得海底深度的值，希望通過這些有限的資料瞭解更多處的海底情況。並繪出較細緻的海底曲面圖。
一、一元插值
一元插值是對一後設資料點(xi,yi)進行插值。
1． 線性插值：由已知資料點連成一條折線，認為相臨兩個資料點之間的函式值就在這兩點之間的連線上。一般來說，資料點數越多，線性插值就越精確。
呼叫格式：yi=interp1(x,y,xi,’linear’) %線性插值
zi=interp1(x,y,xi,’spline’) %三次樣條插值
wi=interp1(x,y,xi,’cubic’) %三次多項式插值
說明：yi、zi、wi為對應xi的不同型別的插值。x、y為已知資料點。
例1：已知資料：
|
x |
0 |
.1 |
.2 |
.3 |
.4 |
.5 |
.6 |
.7 |
.8 |
.9 |
1 |
|
y |
.3 |
.5 |
1 |
1.4 |
1.6 |
1.9 |
.6 |
.4 |
.8 |
1.5 |
2 |
求當xi=0.25時的yi的值。
程式：
x=0:.1:1;
y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1 .6 .4 .8 1.5 2];
yi0=interp1(x,y,0.025,'linear')
xi=0:.02:1;
yi=interp1(x,y,xi,'linear');
zi=interp1(x,y,xi,'spline');
wi=interp1(x,y,xi,'cubic');
plot(x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-')
legend('原始點','線性點','三次樣條','三次多項式')
結果：yi0 = 0.3500
要得到給定的幾個點的對應函式值，可用：
xi =[ 0.2500 0.3500 0.4500]
yi=interp1(x,y,xi,'spline')
結果：
yi =1.2088 1.5802 1.3454
(二) 二元插值
二元插值與一元插值的基本思想一致，對原始資料點(x,y,z)構造見世面函式求出插值點資料(xi,yi,zi)。
一、單調節點插值函式，即x,y向量是單調的。
呼叫格式1：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’linear’)
‘liner’ 是雙線性插值 (預設)
呼叫格式2：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’nearest’)
’nearest’ 是最近鄰域插值
呼叫格式3：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’spline’)
‘spline’是三次樣條插值
說明：這裡x和y是兩個獨立的向量，它們必須是單調的。z是矩陣，是由x和y確定的點上的值。z和x,y之間的關係是z(i,:)=f(x,y(i)) z(:,j)=f(x(j),y) 即：當x變化時，z的第i行與y的第i個元素相關，當y變化時z的第j列與x的第j個元素相關。如果沒有對x,y賦值，則預設x=1:n, y=1:m。n和m分別是矩陣z的行數和列數。
例2：已知某處山區地形選點測量座標資料為：
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度資料為：
z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82
92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84
96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85
80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86
82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83
82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88
88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92
92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84
85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95
84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87
80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88
80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82
87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
其地貌圖為：
對資料插值加密形成地貌圖。
程式：
x=0:.5:5;
y=0:.5:6;
z=[89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82
92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84
96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85
80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86
82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83
82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88
88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92
92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84
85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95
84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87
80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88
80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82
87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87];
mesh(x,y,z) %繪原始資料圖
xi=linspace(0,5,50); %加密橫座標資料到50個
yi=linspace(0,6,80); %加密縱座標資料到60個
[xii,yii]=meshgrid(xi,yi); %生成網格資料
zii=interp2(x,y,z,xii,yii,'cubic'); %插值
mesh(xii,yii,zii) %加密後的地貌圖
hold on % 保持圖形
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %生成網格資料
plot3(xx,yy,z+0.1,'ob') %原始資料用‘O’繪出
2、二元非等距插值
呼叫格式：zi=griddata(x,y,z,xi,yi,’指定插值方法’)
插值方法有： linear % 線性插值 (預設)
bilinear % 雙線性插值
cubic % 三次插值
bicubic % 雙三次插值
nearest % 最近鄰域插值
例：用隨機資料生成地貌圖再進行插值
程式：
x=rand(100,1)*4-2;
y=rand(100,1)*4-2;
z=x.*exp(-x.^2-y.^2);
ti=-2:.25:2;
[xi,yi]=meshgrid(ti,ti); % 加密資料
zi=griddata(x,y,z,xi,yi);% 線性插值
mesh(xi,yi,zi)
hold on
plot3(x,y,z,'o'）