在數值分析中，尤其是有限元剛度矩陣、質量矩陣等的計算中，必然要求如下定積分:
\[
I=\int_a^b f(x)dx
\]學好gauss積分也是學好有限元的重要基礎，學過高等數學的都知道，手動積分能把人搞死（微笑臉），而且有些函式還不存在原函式，使用原始的手動算出原函式幾乎是不現實的。因此非常有必要學習數值積分，簡單講就是近似計算，只要這個近似值精確度高和穩定性好就行。Gauss積分公式就是這麼一個非常好用的工具。本文介紹高斯積分公式的使用以及簡單的數值算例。
標準區間
先考慮特殊情況，對於一般區間呢？待會會處理這個問題。
\[
I=\int_{-1}^1 f(x)dx
\]
不加證明的直接給出gauss公式如下：詳情參閱任何一本數值分析書都有詳細的證明過程：
\[
I=\int_{-1}^1 f(x)dx=\Sigma_{i=1}^n A_if(x_i)
\]
其中\(A_i\)稱作權，\(x_i\)稱作 gauss 點。
下面的問題就是如何選擇\(n,A_i,x_i\)。
理論表明n個點的Gauss公式代數精度為\(2n-1\)，其選擇如下表，（這裡僅僅舉1-4個點情況，實際使用的時候一般2點或者3點的精度已經完全夠了）更多積分點可參考 gauss表.
| gauss點個數 \(n\) | gauss 點 \(x_i\) | 權重 \(A_i\) | 精度 |
|---|---|---|---|
| 1 | \(x_1\)=0 | \(A_1\)=2 | 1 |
| 2 | \(x_{1,2}=\pm1/\sqrt{3}\) | \(A_1=A_2=1\) | 3 |
| 3 | \(x_1=-\sqrt{3/5}\) \(x_2=0\) \(x_3=\sqrt{3/5}\) |
\(A_1=5/9\) \(A_2=8/9\) \(A_3=5/9\) |
5 |
| 4 | \(x_{1}=-\sqrt{\dfrac{15+2\sqrt{30}}{35}}\) \(x_{2}=-\sqrt{\dfrac{15-2\sqrt{30}}{35}}\) \(x_{3}=\sqrt{\dfrac{15-2\sqrt{30}}{35}}\) \(x_{4}=\sqrt{\dfrac{15+2\sqrt{30}}{35}}\) |
\(A_1=\frac{90-5\sqrt{30}}{180}\) \(A_2=\frac{90+5\sqrt{30}}{180}\) \(A_3=\frac{90+5\sqrt{30}}{180}\) \(A_4=\frac{90-5\sqrt{30}}{180}\) |
7 |
一般區間
\[ I=\int_a^b f(x)dx \]
根據上面的討論情況，可知只要做變換(相當於換元積分一樣)
\[
令\quad x=\frac{b+a+(b-a)s}{2},\\
則\quad dx = \frac{b-a}{2}ds.
\]
那麼有\(s\in[-1,1]\)，於是即可使用標準區間公式如下：
\[
I = \int_a^bf(x)dx=\int_{-1}^1f(\frac{b+a+(b-a)s}{2})\times\frac{b-a}{2}ds\\
=\frac{b-a}{2}\Sigma_{i=1}^mA_if(\frac{b+a+(b-a)s_i}{2})
\]
上述公式中的\(A_i\)即為表格中的權重，\(s_i\)即為上表中對應的gauss點，代入公式即可計算積分值。
數值實驗
所有實驗在MATLAB2018a版本下完成。（建議安裝新版本，因為很多函式在新版中已經優化了或者改名字了，比如老版本積分函式quad 新版已經改為integral，只不過目前quad函式還是可以使用的，將來會被刪除）。
我們取2個函式做實驗，分別計算出其gauss積分值再與matlab自帶的函式 integral 計算結果作比較，實驗模型是：
\[
計算 \quad I= \int_1^2 f(x)dx
\]
實驗一
取函式
\[
f(x)=lnx, \quad 即自然對數函式以e為底.
\]
使用matlab函式 integral 計算得到: \(I= 0.386294361119891\)。
使用gauss積分的matlab計算結果為：
| 高斯點數 m | 積分值 \(I_m\) | 誤差norm(\(I_m-I\)) |
|---|---|---|
| 2 | 0.386594944116741 | 3.01E-04 |
| 3 | 0.386300421584011 | 6.06E-06 |
| 4 | 0.386294496938714 | 1.36E-07 |
| 5 | 0.386294364348948 | 3.23E-09 |
實驗二
取函式
\[
f(x)=\dfrac{x^2+2x+1}{1+(1+x)^4},
\]
使用matlab函式 integral 計算得到: \(I= 0.161442165779443\)。
使用gauss積分的matlab計算結果為：
| 高斯點數 m | 積分值 \(I_m\) | 誤差norm(\(I_m-I\)) |
|---|---|---|
| 2 | 0.161394581386268 | 4.76E-05 |
| 3 | 0.161442818737102 | 6.53E-07 |
| 4 | 0.161442196720137 | 3.09E-08 |
| 5 | 0.161442166345131 | 5.66E-10 |
總結
- 隨著gauss點m的個數增多，精度在逐漸提高，但是要注意的是，gauss點取得多的話，計算量也會增大，只是因為我們計算的問題規模比較小，所以感覺不到而已。
- 另外可以看到2點3點的gauss公式的精度已經很高了，說明並不需要取太多的點，而在實際計算中，比如有限元的計算中，也僅僅取2點或者3點gauss積分就完全足夠。
下節預告
下次介紹gauss積分的二維公式使用以及matlab數值實驗，歡迎有問題與我交流，偏微分方程，矩陣計算，數值分析等問題，我的qq 群 315241287
matlab程式碼
clc;clear;
% using 2 3 4 5 points compute the integral
% x \in [a,b]
%
%% test
a=1; b = 2;
fun = @(x) log(x);
% fun = @(x) 2*x./(1+x.^4);
% fun = @(x) exp(-x.^2/2);
% fun = @(x) (x.^2+2*x+1)./(1+(1+x).^4);
%% setup the gauss data
for gauss = 2:5
if gauss == 2
s=[-1 1]/sqrt(3);
wt=[1 1];
fprintf('*************************** 2 points gauss *******')
elseif gauss == 3
s = [-sqrt(3/5) 0 sqrt(3/5)];
wt = [5 8 5]/9;
fprintf('*************************** 3 points gauss *******')
elseif gauss == 4
fprintf('*************************** 4 points gauss *******')
s = [ -sqrt((15+2*sqrt(30))/35), -sqrt((15-2*sqrt(30))/35), ...
sqrt((15-2*sqrt(30))/35), sqrt((15+2*sqrt(30))/35)];
wt = [ (90-5*sqrt(30))/180, (90+5*sqrt(30))/180,...
(90+5*sqrt(30))/180, (90-5*sqrt(30))/180];
elseif gauss == 5
fprintf('*************************** 5 points gauss *******')
s(1)=.906179845938664 ; s(2)=.538469310105683;
s(3)=.0; s(4)=-s(2) ; s(5)=-s(1);
wt(1)=.236926885056189 ; wt(2)=.478628670499366;
wt(3)=.568888888888889 ; wt(4)=wt(2) ; wt(5)=wt(1);
end
%%
% 區間變換到 s \in[-1,1]
s = (b-a)/2*s+(b+a)/2;
jac = (b-a)/2;% dx = jac * ds
f = fun(s);
f = wt.* f .* jac;
format long
exact = integral(fun,a,b);
comp = sum(f)
fprintf('the error is norm(comp-exact)=%10.6e\n\n\n',norm(comp-exact))
end
fprintf('\n\n********* matlab built-in function ''integral''*********\n')
exact = integral(fun,a,b)
format short