二維或三維的分佈積分（格林公式）
分佈積分對下式積分
\[\int\int_{\Omega}\Phi\frac{\partial\Psi}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\]
首先對變數\(x\)分佈積分
\[\int\limits_{X_L}^{X_R}U\mathrm{d}V=(UV_{X=X_R}-UV_{X=X_L})-\int\limits_{X_L}^{X_R}V\mathrm{d}U
\]
對於二維問題
\[\int\int\limits_{\Omega}\Phi\frac{\partial\Psi}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\int\int\limits_{\Omega}\frac{\partial\Phi}{\partial x}\Psi\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\int\limits_{Y_{B}}^{Y_{T}}[(\phi\psi)_{x=X_{R}}-(\phi\psi)_{x=X_{L}}]\mathrm{d}y
\]
如果在求解邊界取一個無窮小的微元，那麼在求解域的左側和右側：
\[\mathrm{d}y=n_x\mathrm{d}\Gamma \\
\mathrm{d}y=-n_x\mathrm{d}\Gamma
\]
其中 \(n_x\)是求解域邊界$T \(的法向量\)\vec{n}\(與\)x$ 軸夾角的方向餘弦
則
\[\int\int\limits_{\Omega}\Phi\frac{\partial\Psi}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\int\int\limits_{\Omega}\frac{\partial\Phi}{\partial x}\Psi\mathrm{d}x\mathrm{d}y+
\int\limits_{Y_{B}}^{Y_{T}}[(\phi\psi)_{x=X_{R}}-(\phi\psi)_{x=X_{L}}]\mathrm{d}y
\]
上式右邊的定積分部分可以寫成曲線積分形式
\[\oint_{\Gamma}\Phi\Psi n_x\mathrm{d}\Gamma
\]
則
\[\int\int_{\Omega}\Phi\frac{\partial\Psi}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\]
可表示為
\[\int\int_{\Omega}\Phi\frac{\partial\Psi}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\int\int_{\Omega}\frac{\partial\Phi}{\partial x}\Psi\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\oint_{\Gamma}\Phi\Psi n_{x}\mathrm{d}\Gamma
\]
同理，如何沿\(y\)積分可得
\[\int\int\limits_{\Omega}\Phi\frac{\partial\Psi}{\partial y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\int\int\limits_{\Omega}\frac{\partial\Phi}{\partial y}\Psi\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\oint\limits_{\Gamma}\Phi\Psi n_y\mathrm{d}\Gamma
\]
\(\Gamma\)表示曲面，而\(\Omega\) 表示三維求解域
例 平衡方程的弱形式
三維變形體的方程
\[\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial z}+b_{x}=0\\\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{yz}}{\partial z}+b_{y}=0\\\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{zz}}{\partial z}+b_{z}=0
\]
上式也表示成簡潔的形式
\[\mathbb{L}([\sigma])=\mathbb{F}([\sigma])+\{b\}=0
\]
\[\\{F}([\sigma])=[\nabla([\sigma])]^{\mathrm{T}} \\
\]
\[\\\nabla=\left[\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right]\\
\]
\[[\sigma]=
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx}&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\ \tau_{xy}&\sigma_{yy}&\tau_{yz}\\
\tau_{xz}&\tau_{yz}&\sigma_{zz}
\end{bmatrix}
\]
應用加權殘值法
\[\int\limits_{V}\delta\{U\}^{\mathrm{T}}\{\mathbb{F}([\sigma])+\{b\}\} \mathrm{d}V=0
\]
\(V\) 是變形體的體積
\[\begin{aligned}\int_{V} & {\left[\delta u\left(\frac{\partial \sigma_{x x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{x y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{x z}}{\partial z}+b_{x}\right)+\delta y\left(\frac{\partial \tau_{x y}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{y y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{y z}}{\partial z}+b_{y}\right)\right.} \\& \left.+\delta w\left(\frac{\partial \tau_{x z}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{y z}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma_{z z}}{\partial z}+b_{z}\right)\right] \mathrm{d} V\end{aligned}
\]
為了獲得弱形式，採用格林公式進行分佈積分，考慮第一項
\[\int\limits_{V}\delta u\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} \mathrm{d}V=\int\limits_{A}\delta u\sigma_{xx}l_{x}\mathrm{d}A-\int\limits_{V}\sigma_{xx}\frac{\partial(\delta u)}{\partial x} \mathrm{d}V
\]
重複上面的方法，對剩下部分分佈積分
\[\begin{aligned}
&\int_{V}\left(\sigma_{xx}\frac{\partial(\delta u)}{\partial x}+\tau_{xy}\Big(\frac{\partial(\delta u)}{\partial y}+\frac{\partial(\delta v)}{\partial x}\Big)+\tau_{xz}\Big(\frac{\partial(\delta u)}{\partial z}+\frac{\partial(\delta w)}{\partial x}\Big)+\cdots+\sigma_{zz}\frac{\partial(\delta w)}{\partial z}\right) \\
&- \delta ub_{x}-\delta vb_{y}-\delta wb_{z}\Big)\mathbf{d}V+\int_{A}\Big(\delta u(\sigma_{xx}l_{x}+\tau_{xy}l_{y}+\tau_{xz}l_{z}) \\
&+\delta v(\tau_{xy}l_{x}+\sigma_{yy}l_{y}+\tau_{yz}l_{z})+\delta w(\tau_{xz}l_{x}+\tau_{yz}l_{y}+\sigma_{zz}l_{z})\Big)\mathrm{d}A=0
\end{aligned}
\]
其中\(\delta()\)為線性運算子，表示
\[\frac{\partial(\delta u)}{\partial x}=\frac{\delta(\partial u)}{\partial x}=\delta\frac{(\partial u)}{\partial x}=\delta\epsilon_{xx}
\]
因此位移的偏導數可以表示為
\[\delta\{\epsilon\}^\mathrm{T}=\left[\delta\frac{(\partial u)}{\partial x},\delta\frac{(\partial v)}{\partial y},\cdots,\left(\delta\frac{(\partial w)}{\partial x}+\delta\frac{(\partial u)}{\partial z}\right)\right]^\mathrm{T}
\]
積分的前9項可以表示為
\[\int\limits_{V}\delta\{\epsilon\}^{\mathrm{T}}\{\sigma\} \mathrm{d}V
\]
其餘專案可以表示為
\[-\int\limits_{V}\delta\{U\}^{\mathrm{T}}\{b\} \mathrm{d}V
\]
而對於曲面的積分可以表示
\[-\int\limits_{A}\delta\{U\}^{\mathrm{T}}\{t\} \mathrm{d}A
\]
其中\({t}\)表示應力向量，其表示式為
\[\{t\}=\begin{Bmatrix}t_x\\t_y\\t_z\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}\sigma_{xx}l_x+\tau_{xy}l_y+\tau_{xz}l_z\\\tau_{xy}l_x+\sigma_{yy}l_y+\tau_{yz}l_z\\\tau_{xz}l_x+\tau_{yz}l_y+\sigma_{zz}l_z\end{Bmatrix}
\]
因此分佈積分和式可以表示
\[\int\limits_{V}\delta\{\epsilon\}^{\mathrm{T}}\{\sigma\} \mathrm{d}V=\int\limits_{V}\delta\{U\}^{\mathrm{T}}\{b\} \mathrm{d}V+\int\limits_{A}\delta\{U\}^{\mathrm{T}}\{t\} \mathrm{d}A
\]
上式是虛功原理的表示，表明：如果一個變形力處於平衡狀態，則外力在任意虛位移上所做的等於變形樓梯應力虛應變能。
因此，虛功原理是平衡方程的積分弱形式。
瑞利-里茲法
函式\(\Pi\)由一組函式和偏導陣列成
\[\Pi=\Pi\Big(u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\cdots\Big)
\]
函式\(\Pi\)的一階變分為
\[\delta\Pi=\frac{\partial\Pi}{\partial u}\delta u+\frac{\partial\Pi}{\partial\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}\delta\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)+\cdots
\]
其中 \(\delta u\) 和 \(\delta{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}\)是\(u\) 和\(\frac{\partial u}{\partial x}\)的變分。
積分形式的函式表示式
如果採用伽遼金法求解求解6.25，用 \(\delta\overline{u}(x)\)代替$\psi $可得
\[\int_{0}^{1}\left((\bar{u}(x)+x) \delta \bar{u}(x)-\frac{\mathrm{d} \bar{u}(x)}{\mathrm{d} x} \frac{\mathrm{d} \delta \bar{u}(x)}{\mathrm{d} x}\right) \mathrm{d} x+[p \delta \bar{u}(x)]_{0}^{1}=0
\]
整理可得
\[\delta\Big[\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}\overline{u}(x)^{2}\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}\Big(\frac{\mathrm{d} \overline{u}(x)}{\mathrm{d}x}\Big)^{2}\mathrm{d}x+\int\limits_{0}^{1}x\overline{u}(x)\mathrm{d}x+\left[p\overline{u}(x)\right]_{x=1}\Big]=0
\]
上式可以簡寫為
\[\delta\Pi=0
\]
式中的函式\(\Pi\)的表示式為
\[\Pi=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}\overline{u}(x)^{2}\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{\mathrm{d} \overline{u}(x)}{\mathrm{d}x}\right)^{2}\mathrm{d}x+\int\limits_{0}^{1}x\overline{u}(x)\mathrm{d}x+\left[p\overline{u}(x)\right]_{x=1}
\]
可以看出，函式\(\Pi\)是函式\(\overline{u}(x)\)及其導數的函式。
瑞利-里茲法簡介
如果函式是已知的，那麼就可以用瑞利-里茲法(Rayleigh Ritz method)進行離散，也就是用代數方程代替微分方程。該方法需要找到諸如式(6.2)形式的滿足強制邊界條件的試函式，並使得上述方程取最小值，即
\[\delta\Pi=0
\]
如果用\(\{\overline{u}\}=\sum_{i=1}^n\alpha_iP_i(\{x\})\)代替 \(\overline{u}(x)\),那麼6.25的變分可以表示
\[\delta\Pi=\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha_1}\delta\alpha_1+\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha_2}\delta\alpha_2+\cdots+\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha_n}\delta\alpha_n=0
\]
對於任意的$\delta\alpha_{i} , \delta\Pi $必須等於零，因此
\[\begin{aligned}&\frac{\partial \Pi}{\partial \alpha_{1}}=0\\&\frac{\partial \Pi}{\partial \alpha_{2}}=0\\&\text{:}\\&\frac{\partial \Pi}{\partial \alpha_{n}}=0\end{aligned}
\]
上式包含了n個方程，可以求解n個待求的引數\(a_i\).
例1 有泛函
\[\Pi=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}\overline{u}(x)^{2} \mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{\mathrm{d} \overline{u}(x)}{\mathrm{d}x}\right)^{2}\mathrm{d}x +\int\limits_{0}^{1}x\overline{u}(x) \mathrm{d}x
\]
它是下面微分方法的等效積分形式
\[\mathbb{B}(u(x))=\frac{\mathrm{d}^2u(x)}{\mathrm{d}x^2}+u(x)+x=0
\quad {on}
\quad \Omega=[0,1]
\]
邊界條件
\[\begin{aligned}u(x&=0)=0\\u(x&=1)=0\end{aligned}
\]
該方程的解析解為
\[u(x)=\frac{\sin(x)}{\sin(1)}-x
\]
下面採用瑞利裡茨法求解，假設滿足邊界條件的試函式為
\[\begin{aligned}&u_{1}=x(x-1)\alpha_{1}\quad\longrightarrow\text{一個引數}\\&u_{2}=x(x-1)(\alpha_{1}+\alpha_{2}x)\quad\text{兩個引數}\end{aligned}
\]
將第一個試函式代入，可得
\[\begin{aligned}
\Pi _1
& =\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}\left(\alpha_{1}^{2}(x^{2}-x)^{2}-\alpha_{1}^{2}(2x-1)^{2}+2\alpha_{1}x^{2}(x-1)\right)\mathrm{d}x \\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left(\alpha_{1}^{2}x^{4}+(\alpha_{1}-\alpha_{1}^{2})2x^{3}+(3\alpha_{1}^{2}+2\alpha_{1})x^{2}+4\alpha_{1}^{2}x-\alpha_{1}^{2}\right)\mathrm{d}x
\end{aligned}
\]
對上式進行積分
\[\Pi _1=- \frac {3}{20} \alpha_1 ^2- \frac {1}{12}\alpha_1
\]
對上式進行變分，可得
\[\delta\Pi_1=\frac{\partial\Pi_1}{\partial\alpha_1}\delta\alpha_1=0=-\frac6{20}\alpha_1-\frac1{12}
\]
從而可以解得
\[\alpha_1=\frac{-5}{18}
\]
試函式可以表示為
\[u_1(x)=\frac{-5}{18}x(x-1)
\]
將兩個引數的第二試函式代入並積分
\[\Pi_2=-\frac{3}{20}\alpha_1^2-\frac{13}{210}\alpha_2-\frac{3}{20}\alpha_1\alpha_2-\frac{1}{12}\alpha_1-\frac{1}{20}\alpha_2
\]
並將 將\(\Pi_2\)對於\(\alpha_1\)和\(\alpha_2\)進行變分,可得
\[\delta\Pi_{2}=\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial\alpha_{1}}\delta\alpha_{1}=-\frac{3}{10}\alpha_{1}-\frac{3}{20}\alpha_{2}-\frac{1}{12}=0\\\delta\Pi_{2}=\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial\alpha_{2}}\delta\alpha_{2}=-\frac{3}{20}\alpha_{1}-\frac{13}{105}\alpha_{2}-\frac{1}{20}=0
\]
聯合求解
\[\alpha_{1}=\frac{-71}{369}\\\alpha_{2}=\frac{-7}{41}
\]
因此試函式可表示為
\[u_2(x)=x(x-1)\Big(-\frac{71}{369}-\frac{7x}{41}\Big)
\]
參考文獻：MATLAB和Abaqus有限元分析理論與應用
附錄
格林公式
設 \(\mathbf{F}(x, y)=M(x, y) \mathbf{i}+N(x, y) \mathbf{j}\) 為一個平面流體的速度場, 並設 \(M,N\)在區域 R 的每一點處的一階偏導連續. 設 (x, y) 為 R 內一點, 且設 A 為一個小矩形, 它的一個頂點在 (x, y) , 且整個小矩形均位於 R 內 (圖 13.24). 矩形的邊平行於座標軸, 長度分別為$ \Delta x $和 $ \Delta y $. 液體從底邊穿出離開矩形的速率近似為
\[F( x , y ) \cdot ( - \mathbf{j})\Delta x = - N( x , y )\Delta x .
\]
這是速度在點（x,y)的外法方向的分量乘以線段的長，比如速度以“每秒米”為單位，流出速度是以每秒乘以米，或者每秒平方米，流體沿外法線方向穿出其他三邊的速度可以類似估算：
逸出速度
\[\begin{aligned}&\text{頂邊}:\quad\mathbf{F}( x , y + \Delta y ) \cdot \mathbf{j}\Delta x = N( x , y + \Delta y )\Delta x\\&\text{底邊}:\quad\mathbf{F}( x , y ) \cdot ( - \mathbf{j} )\Delta x = - N( x , y )\Delta x\\&\text{右邊}:\quad\mathbf{F}( x + \Delta x , y ) \cdot \mathbf{i}\Delta y = M( x + \Delta x , y )\Delta y\\&\text{左邊}:\quad\mathbf{F}( x , y ) \cdot ( - \mathbf{i})\Delta y = - M( x , y )\Delta y .\end{aligned}
\]
將對邊加一起
\[\text{上、下邊:}\quad( N( x ,y + \Delta y ) - N( x ,y ) )\Delta x \approx \left(\frac{\partial N}{\partial y}\Delta y\right)\Delta x \\
\text{右、左邊:}\quad(M( x + \Delta x ,y ) - M( x ,y ) )\Delta y \approx \left(\frac{\partial M}{\partial x}\Delta x\right)\Delta y .
\]
上面兩式相加
\[\text{穿過矩形邊界的通量} \approx \left(\frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y}\right)\Delta x\Delta y .
\]
兩邊再除以 \(\Delta x \Delta y\) 以算出單位面積的總通量或者穿過矩形的通量密度
\[\frac{\text{穿過矩形邊界的通量}}{\text{矩形面積}} \approx \left(\frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y}\right).
\]
通量密度或散度
向量場 \(F=M\mathbf{i}+N\mathbf{j}\)\在點\((x,y)\)處的通量密度或散度為:
\[\mathrm{divF} = \frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y} .
\]
環量密度：旋度的K-分量
F繞A的邊界的逆時針環量是沿著邊界的流速之和，對底邊，流速近似為：
\[F( x , y ) \cdot i \Delta x = M( x , y )\Delta x
\]
這是F在切向量i方向上的數值分量乘以該線段的長，而沿著其他邊的逆時針的流速可以類似表示
\[\begin{aligned}
\text{上邊:} \quad & \mathbf{F}( x , y + \Delta y ) \cdot ( - \mathbf{i})\Delta x = - M( x , y + \Delta y )\Delta x \\
\text{下邊:} \quad & \mathbf{F}( x , y ) \cdot\mathbf{i} \Delta x = M( x , y )\Delta x \\
\text{右側邊:} \quad & \mathbf{F}( x + \Delta x ,y ) \cdot \mathbf{j} \Delta y = N( x + \Delta x ,y )\Delta y \\
\text{左側邊:} \quad & \mathbf{F}(x,y)\cdot(-\mathbf{i})\Delta\gamma = - N(x,y)\Delta\gamma .
\end{aligned}
\]
把對邊的結果相加：
\[\text{上與下}:- ( M( x , y + \Delta y ) - M( x , y ) )\Delta x \approx- \left(\frac{\partial M}{\partial y}\Delta y\right)\Delta x\\\text{右與左}:\quad( N( x + \Delta x , y ) - N( x , y ) )\Delta y \approx \left(\frac{\partial N}{\partial x}\Delta x\right)\Delta y .
\]
兩式相加，除以 \(\Delta x \Delta y\)
\[\frac{\text{繞矩形的環量}}{\text{矩形面積}} \approx \left(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\right).
\]
環量密度或旋度的k-分量
向量場$ F= Mi+Nj$在 \((x,y)\)的環量密度或者旋轉的k-分量是數量值
\[(\mathrm{curl~}\mathbf{F})\cdot\mathbf{k} = \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}.
\]
格林定理的兩種形式
格林定理的一種形式：在合適的條件下，穿過平面內一簡單的閉曲線的向量場向外的通量等於該等於該曲線所圍區域誰給你的散度的二重積分。
Green定理（通量-散度形式或法向形式）
場\(F=Mi+Nj\)穿過一簡單閉合曲線C向外的通量等於 div F在C 所圍區域R上的二重積分
\[\oint\limits_{c}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\:\mathrm{d}s\:=\:\oint\limits_{c}M\mathrm{d}y\:-\:N\mathrm{d}x\:=\:\iint\limits_{R}\left(\frac{\partial M}{\partial x}\:+\:\frac{\partial N}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\
向外通量 \qquad \qquad \qquad\qquad 散度積分
\]
格林定理的一種形式：向量場繞一簡單的閉曲線逆時針的環流量等於場在該曲線縮在區域的旋度k分量的二重積分。
Green定理（環量-旋度形式或切向形式）
場\(F=Mi+Nj\)繞平面簡單閉曲線C的逆時針方向的環量等於（curl F）k 在在C 所圍區域R上的二重積分
\[\oint_{c}\mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\mathrm{d}s\:=\:\oint_{c}M\mathrm{d}x\:+\:N\mathrm{d}y\:=\:\iint_{R}\left(\frac{\partial M}{\partial x}\:-\:\frac{\partial N}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\:\mathrm{d}y\\
逆時針方向的環量 \qquad\qquad\qquad\qquad 旋度積分
\]
格林定理的兩種形式是等價的
用格林公式證明線積分
如何把一些不同的曲線首尾相連地構成一條閉曲線C，那麼在C上計算的積分過程會冗長、繁瑣，因為有那麼不同的積分要一個個計算。若C界出一個區域R，又在該區域可應用格林定理，那麼，就能用格林定理把環繞C的線積分轉成成R上的二重積分。
例1 （用格林公式證明線積分）計算線積分\(\oint_{c}xy\operatorname{d}y - y^{2}\operatorname{d}x\),其中C為正方形，是由直線x=1，y=1從第一象限截出的部分
這裡用格林公式的兩種形式各做一次，將正方向的線積分變成以正方形為邊界的區域的二重積分。
- 用法向形式的公式
\[\begin{aligned}
\oint_{c}xy\operatorname{d}y - y^{2}\operatorname{d}x& =\iint_{k}\left( y + 2 y \right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}3 y \mathrm{d}x \mathrm{d}y \\
&=\int_{0}^{1}\bigl[ 3 xy \bigr]_{ x = 0}^{ \lambda = 1}\mathrm{d} y = \int_{0}^{1}3 y \mathrm{d} y = \left.\frac{3}{2} y^{2} \right|_{0}^{1} = \frac{3}{2} ,
\end{aligned}
\]
2.用切向形式的公式
\[\oint_{c} - y^{2}\mathrm{d}x + xy \mathrm{d}y = \iint_{R} ( y - ( - 2y ) ) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \frac{3}{2} .
\]
對特殊區域格林定理的證明
設C為xy平面內的一條光滑簡單閉曲線，具有性質：平行座標軸的直線與C至多交於兩點，設R為C所圍的區域，並設M,N及他們的一階偏導數在某個包含C和R的開區域的每一個點上都連續，以下證明格林定理的環量-旋度形式
\[\:\oint_{c}M\mathrm{d}x\:+\:N\mathrm{d}y\:=\:\iint_{R}\left(\frac{\partial M}{\partial x}\:-\:\frac{\partial N}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\:\mathrm{d}y\\
\]
如圖所示，C由兩段標明方向的部分組成：
\[\begin{array}{rcl}C_1 : y&= f_1( x ) , a \leqslant x \leqslant b ,\\C_2 : y&= f_2( x ) , b \geqslant x \geqslant a .\end{array}
\]
對任何a，b間的x，我們能關於y從$ y= f_1( x ) $ 到$ y= f_2( x ) \(的積分\) \frac {\partial M }{\partial y}$,得到
\[\begin{aligned}\int_{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}\frac{\partial M}{\partial y}\mathrm{d}y&=M( x ,y ) \bigg|_{y=f_{1}( x )} ^ {y=f_{2}( x )} \\&=M( x ,f_{2}( x ) ) - M( x ,f_{1}( x ) ) .\end{aligned}
\]
在對結果關於x從a積到b：
\[\begin{aligned}
\int_{a}^{b}\int_{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}\frac{\partial M}{\partial y}\mathrm{d}y\mathrm{d}x& =\int_{a}^{b}\left[ M( x ,f_{2}( x ) ) - M( x ,f_{1}( x ) ) \right]\mathrm{d}x \\
&=-\int_{b}^{a} M( x ,f_{2}( x ) ) \mathrm{d}x -\int_{a}^{b} M( x ,f_{1}( x ) ) \mathrm{d}x \\
&=-\int_{C_{2}}M\mathrm{d}x -\int_{C_{1}}M\mathrm{d}x =- \oint_{C}M\mathrm{d}x .
\end{aligned}
\]
因此
\[\oint_{c}M\mathrm{d}x = \iint_{R}\left(-\frac{\partial M}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y .
\]
同理：
\[\oint\limits_{c}N\mathrm{d}y = \iint\limits_{R} \frac{\partial N}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y .
\]
曲面面積和曲面積分
小切平面 \(\Delta P_k\)分割近似所有小曲面 \(\Delta\sigma_{k}\),把他們合在一起構成曲面，因此
\[\sum\Delta P_k = \sum \frac{\Delta A_k}{|\cos \gamma_k|}
\]
上式是以下二重積分的近似
\[\iint_R\frac1{\mid\cos\gamma\mid}\mathrm{d}A .
\]
曲面面積公式
定義在一個有界閉平面區域R上的曲面
\[\text{曲面面積 }=\iint_R\frac{|\nabla f|}{|\nabla f\cdot\mathbf{p}|}\mathrm{d}A ,
\]
其中p是R的單位法向量，且$ \Delta f \cdot≠ p $
於是面積就是向量$ \Delta f$ 的模（長度）除以$ \Delta f$在R的法向的數值分量的絕對值的二重積分。
曲面積分求通量
參考文獻： 托馬斯微積分13版