拉格朗日插值學習筆記

DycIsMyName發表於2024-04-20
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筆記

拉格朗日插值學習筆記

應用

眾所周知，在平面直角座標系中，對於任意的 \(n\) 個點，都一定有一個不超過 \(n-1\) 次的函式與之相對應。拉格朗日插值適用於求解這 \(n\) 個點對應的函式。

思路

考慮給定的 \(n\) 個點的座標表示為 \((x_i,y_i)\)，不難構造出如下函式：

\[f(x)=\sum_{i=1}^{n}y_ig_i(x) \]

那麼此時只需要構造出符合要求的 \(g_i\) 即可。不難發現，為了使 \(f\) 符合條件，\(g_i\) 應該滿足：

\[\forall n\in x,g_i(n)=\left\{\begin{matrix}1&n=x_i\\0&n\ne x_i\end{matrix}\right. \]

其中，\(x\) 表示所有 \(x_i\) 構成的集合。不難發現，當 \(n\ne x_i\) 時函式值為 \(0\)，說明該函式 \(g_i(x)\) 一定有因式 \((x-x_j)(i\ne j)\)，因此不難看出 \(g_i(x)\) 應當有因式 \(\prod_{j\ne i}(x-x_j)\)。又因為當 \(n=x_i\) 時，函式值為 \(0\)，不難構造出：

\[g_i(n)=\frac{\prod_{j\ne i}(n-x_j)}{\prod_{j\ne i}(x_i-x_j)} \]

如此就構造出了符合條件的函式，此時可以 \(O(n^2)\) 求解。在單次求解的時候可以採用。

不妨進行進一步轉換，令 \(t_i=\frac{y_i}{\prod_{j\ne i}(x_i-x_j)}\)，不難看出，\(f(x)=t_i\prod_{j\ne i}(x-x_j)\)。不妨計算出 \(\prod_{i=1}^{n}(x-x_i)\) 後將對應項除掉，接著利用多項式乘法算出每一次項前的係數後，就可以按照多項式加法的方式 \(O(n)\) 求解。這樣的方式適用於多組查詢或需要求出函式對應項係數的情況。

程式碼

\(O(n^2)\) 寫法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

const int N=2e3+5,M=998244353;

int n,k;
int x[N],y[N];

ll QuickPow(ll a,int b){
    ll res=1;
    while(b>0){
        if(b&1)res=res*a%M;
        a=a*a%M;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

ll Lagrange(int x[],int y[],int X){
    ll res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ll l_i=1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i!=j)l_i=l_i*(X-x[j])%M*QuickPow(x[i]-x[j],M-2)%M;
        }
        res=(res+l_i*y[i]%M)%M;
    }
    return res;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
    printf("%lld",(Lagrange(x,y,k)+M)%M);
    return 0;
}

\(O(n)\) 做法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

const int N=2e3+5,M=998244353;

int n,k;
ll t[N],x[N],y[N],g[N],fs[N],f[N];

ll QuickPow(ll a,int b){
    ll res=1;
    while(b>0){
        if(b&1)res=res*a%M;
        a=a*a%M;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

void Init(){
    for(int i=0;i<n;i++){
        t[i]=1;
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(i==j)continue;
            t[i]=t[i]*(x[i]-x[j])%M;
        }
        t[i]=QuickPow(t[i],M-2)*y[i]%M;
    }
    fs[0]=1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=n-1;j>0;j--)fs[j]=(fs[j-1]+fs[j]*(M-x[i])%M)%M;
        fs[0]=fs[0]*(M-x[i])%M;
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        ll inv=QuickPow(M-x[i],M-2);
        g[0]=fs[0]*inv%M;
        for(int j=1;j<n;j++)g[j]=(fs[j]-g[j-1])*inv%M;
        for(int j=0;j<n;j++)f[j]=(f[j]+t[i]*g[j]%M)%M;
    }
    return ;
}

ll Lagrange(ll X){
    ll res=0,Pow=1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        res=(res+Pow*f[i]%M)%M;
        Pow=Pow*X%M;
    }
    return res;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);
    Init();
    printf("%lld",(Lagrange(k)+M)%M);
    return 0;
}

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