preamble
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羅爾中值定理是理解拉格朗日中值定理的基礎
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羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的1個特殊情況
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泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣
cite: 羅爾定理: https://www.cnblogs.com/Preparing/p/18156702
definition
若函式\(f(x)\)滿足下列條件：
- \(f(x)\) 在閉區間\([a,b]\)上連續
- \(f(x)\) 在閉區間\((a,b)\)上可導
則在\((a,b)\)內至少存在一點 \(\xi\) , 使得\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
等價形式： \(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\), \(a< \xi <b\)
幾何意義：在滿足定理條件的曲線\(y=f(x)\)上至少存在一點\(P(\xi,f(\xi))\),經過該點處的切線平行於曲線兩端端點的連線\(AB\)。
如下圖所示：
attest
證明思路：構造一個原函式，以及利用羅爾中值定理
\[
\begin{align}
證明：f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0
\\ \\
構造原函式: W(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} x
\\ \\
而W(x)的導數正是：W'(x)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\\ \\
將a、b兩點代入W(x)： \
W(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} a
\\ \\
\frac{f(a)b-f(a)a}{b-a} - \frac{f(b)a-f(a)a}{b-a}
=
\frac{f(a)b-f(a)a-f(b)a+f(a)a}{b-a}
\\ \\
得：W(a)=\frac{f(a)b-f(b)a}{b-a}
\\ \\
W(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} b
\\ \\
\frac{f(b)b-f(b)a}{b-a}-\frac{f(b)b-f(a)b}{b-a}
=
\frac{f(b)b-f(b)a-f(b)b+f(a)b}{b-a}
\\ \\
得：W(b)=\frac{f(a)b-f(b)a}{b-a}
\\ \\
\therefore W(a)=W(b)
\\
且W(x)滿足羅爾中值定理中的對於在開閉區間內連續與可導的兩條條件
\\
故存在 \xi \in (a,b)
\\
便可以據羅爾中值定理推出: W'(\xi)=0
\\ \\
\because W'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0
\\ \\
\therefore f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\\ \\
證明成立
\end{align}
\]