介紹
拉格朗日差值是設計一條次數為 \(n-1\) 次的多項式穿過 \(n\) 個點。
我們知道，給定 \(n\) 個點確定一條唯一的 \(n-1\) 次多項式。
演算法
我們引入一個開關。
對於 \(x_1,x_2,x_3\) ，我們想讓當 \(x=x_1\) 時，\(g(x)=y_1\) ，當 \(x=x_2\) 或 \(x=x_3\) 時,\(g(x)=0\)。
所以拉格朗日設計出了這個式子：
\[g(k)=y_i\prod\limits_{i=1,i\ne k}^n \frac{x-x_i}{x_k-x_i}
\]
我們發現右邊那一坨，當 \(x=x_k\) 時為 \(1\) ，否則為 \(0\) 。
這不就解決了嘛。
然後我們把所有的 \(g\) 加在一起，得到 \(f(x)=\sum\limits_{i=1}^n g(i)\)
完了。