數學雜談 #??

高考裡面有很多“極值點偏移”的問題，實際上是給定一個函式 \(f(x)\)，考察以 \(f(x)=a\) 的若干根為變元的函式的取值範圍的問題。

以函式 \(f(x)=x-\ln(x+1)\) 為例。當 \(t>0\) 時，\(f(x)=t\) 有兩個根 \(x_1\) 和 \(x_2\)，我們考察 \(x_1+x_2\)。

我們嘗試用下面這個曲線去擬合 \(y=f(x)\) 這條曲線。

\[\Gamma_{n,m,k}(x,y)=A_{n}(y)x^2+B_{m}(y)x+C_{k}(y)=0 \]

其中 \(A_n(y)\) 為 \(n\) 次多項式，\(B_m(y),C_k(y)\) 同理。

在最理想的情況下，應該有：

\[\Gamma_{n,m,k}[x,f(x)]=0 \]

但是這樣方程過於抽象。將 \(\Gamma_{n,m,k}[x,f(x)]\) 展開成泰勒級數，並且做低精度的近似：

\[\Gamma_{n,m,k}[x,f(x)]\equiv 0\pmod {x^r} \]

注意到，\(A,B,C\) 總共包含 \(n+m+k+3\) 個變元，而泰勒級數中每一項係數都產生了一個方程，即有 \(r\) 條方程，並且每一條都是線性的。因為我們要求非平凡解，所以不能將係數完全定死，於是 \(r\le n+m+k+2\)。

當我們進行估計的時候，會產生：

\[\begin{aligned} x_1+x_2&\sim \frac{B_m(y)}{A_n(y)}\\ x_1x_2&\sim \frac{C_k(y)}{A_n(k)} \end{aligned} \]

注意到這樣的事實：\(x_1+x_2=O(m),-x_1x_2=O(m)\)。

因此理論上的較優擬合應該滿足 \(m=k=n+1\)，此時 \(r\) 可以取到 \(3n+4\)。

Remark.

更有意思的事實是——當 \(m,k\) 取得太大的時候，\(y>0\) 的區域內曲線會閉合。為什麼？

用計算機算出來的結果是：

\[\begin{aligned} x^2+\left(-\frac 4 3y\right)x+(-2y)&=0\\ \left(\frac 2{15}y+1\right)x^2+\left(-\frac 4{27}y^2-\frac{4}{3}y\right)x+\left(-\frac{2}{45}y^2-2y\right)&=0\\ \left(\frac {17}{1890}y^2+\frac{7}{60}y+1\right)x^2+\left(-\frac{403}{42525}y^3-\frac{17}{135}y^2-\frac{4}{3}y\right)x+\left(-\frac{41}{1890}y^3-\frac{1}{90}y^2-2y\right)&=0 \end{aligned} \]

再往下走，\(n=3\) 的係數就已經過於崩壞了。

於是這裡就有了一個問題：有沒有可能放鬆限制，譬如令 \(r<3n+4\)，然後找到形式更好的解？

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這個擬合也許可以看做是 Pade 逼近的自然延伸。因為如果把次數放低，我們就有：

\[\begin{aligned} x+A(y)&=0\\ A(y)x+B(y)&=0 \end{aligned} \]

當然，很不幸的是——第一個方程沒有解（很自然地），而第二個方程只有 \(A(y)=B(y)=0\) 的平凡解（也並不意外）。

這自然地引出了下面這個形式：

\[\sum_{k=0}^s\alpha_k(y)x^k=0 \]

不過，受限於個人能力，我的研究就到這裡了......

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又及：可以用拉格朗日反演去解出 \(x_1(t)\) 和 \(x_2(t)\) 的級數解，但是比較難看 😦