經典組合數求和等於斐波那契等式
\(\sum\limits_{i=0}^n \dbinom{n-i}{i}=f_{n+1}\)，其中 \(f\) 為斐波那契數列。
證法 \(1\)：
\(\sum\limits_{i=0}^n \dbinom{n-i}{i}=\sum\limits_{i=0}^n [x^i](1+x)^{n-i}=[x^n]\sum\limits_{i=0}^n x^{n-i}(1+x)^{n-i}=[x^n] \dfrac{1}{1-x-x^2}=[x^{n+1}] \dfrac{x}{1-x-x^2}=f_{n+1}\)
由斐波那契數列遞推式易證其生成函式式 \(\dfrac{x}{1-x-x^2}\)。
證法 \(2\)：
考慮組合意義：\(f_{n+1}\) 表示選若干個 \(1\) 和 \(2\) 和為 \(n\) 的方案數。
列舉選取的數的個數 \(i\)，則接下來要在 \(i\) 個數中選 \(n-i\) 個數 \(+1\)，方案為 \(\dbinom{i}{n-i}\)。
於是 \(f_{n+1}=\sum\limits_{i=0}^n \dbinom{i}{n-i}=\sum\limits_{i=0}^n \dbinom{n-i}{i}\)。
經典和為 \(m\) 倍數問題
求 \(1\sim n\) 有多少個子集和為 \(m\) 倍數。
參考P10084。