數學專題1

數學是好的——數學老師

在資訊學中，數學依然重要！！！

為腎膜？

蒟蒻：我都知道

看看歷年的曾題：

NOIP2017 D1T1 小凱的疑惑

不定方程大佬（nao）一算，

a*b-a-b

得解！！！

AK*1，MARK+=100；

NOIP2016 D2T1 組合數問題

組合數學的遞推+字首和=>AK*2，MARK+=100；

雖然我聽大佬說這題這麼解。

NOIP2014 D2T3最後一道

質數篩法+簡（du）單（liu）高精=>AK*3,MARK+=100;

還有很多：

計算係數，同餘方程，轉圈遊戲······

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幾乎每一屆NOIP都有數學。

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數學老師說：數學是好的。

先把他請出去，這是資訊教室。

而且，數學是比較好理解的演算法之一，他包含了：質數，質數篩法，最大公約數（gcd），最小公倍數（lcm），尤拉函式，歐幾里得演算法，中國剩餘定理，組合數學······

其實，你有一定的數學基礎時，大概一天就能把這些演算法摸一遍。

今天，我們先來講質數，質數篩法，互質以及尤拉函式。

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  質數

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只有1和它本身為因數的數叫質數。

特別地，1不是質數。

合數：除1和質數以外的正整數叫合數。

常識：100以內有25個質數。

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   質數判定

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在放程式碼之前，我們先舉幾個栗子。

15。

我們手判質數會這樣：（假設我們不知道它是不是）

15/2=7······1,

15/3=5

SO

15不是質數。

77.

手判質數：

77/2=38······1

77/3=25······2

······

77/7=11

SO

77也不是質數。

13.

13/2=6······1

13/3=4······1

13/4=3······1

ceil（sqrt（13））（根號13取上整）=4，

若13/2，3，4除不盡，13就是質數。

為什麼呢？

蒟蒻：13本來就是質數。

好。來證明一下：

若x是合數，設它的一個因數為a，則x/a必是它的因數。

所以，只要算sqrt（x）就可以了。

code：

 1 bool prime(int x)
 2 {
 3       if(x<=1)   return 0;
 4       if(x==2)   return 1;
 5       for(int i=2;i<=sqrt(x);i++)
 6       {
 7             if(x%i==0)
 8             return 0;
 9       }
10       return 1;
11 }

質數也有篩法，普通暴力篩我就不講了，就是一個一個判。

我們要講到的事線性篩，又叫尤拉篩法。

從 2 開始列舉當前數 i，去掉 i×p 這個合數，其中 p 是質數，且 p<i。 每個合數只會被其最小的質因子篩去，所以總的複雜度是線性的。

這就是它叫線性篩的原因。

我們先來看程式碼：

code：

 1 memset(check,0,sizeof(check));//標記
 2 int tot = 0;//質數個數
 3 for(int i=2;i<=n;i++)
 4 {
 5     if(!check[i])//i沒有別刪去，則他是質數 
 6     {
 7         prime[++tot]=i;
 8     }
 9     for(int j=1;j<=tot;j++)//去除i的倍數 
10     {
11         if(i*prime[j]>n)//超過n，退出 
12         {
13             break;
14         }
15         check[i*prime[j]]=1;//劃去合數 
16         if(i%prime[j]==0)
17         {
18             break;//合數被最小因子劃去 
19         }
20     }
21 } 

理解 i % prime[j] ==  0 是關鍵
原理：
1、任何一個合數都可以表示成一個質數和一個數的成績
2、假設A是一個合數，且A=x*y，這裡x也是一個合數，那麼有：
A=x*y（假設x是合數，y是質數）
x=a*b（假設a是質數，則a<x –> a<y)
A=a*b*y=a*Z (Z=b*y)  
3、即一個合數x與一個質數y的乘積能表示成一個更大的合數Z和一個更小的質數a乘積表示
所以對於當前i，若i % prime[j] == 0 –> i = prime[j] * x;
所以對於之後的任意數 i * prime[j+1] = prime[j] * prime[j+1] * x = prime[i] * y
即對於之後的數，我們都能用prime[j] * 一個更大的數來篩去，所以這裡不用重複篩了
由於每個數只可能被最小的素數篩掉，所以複雜度為O（n）。

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      尤拉函式

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尤拉函式就是表示小於n的數中與n互質的數的個數

code：

 1 int euler(int n){
 2     int ans = n;
 3     for(int i = 2; i * i <= n; i ++){
 4         if(n % i == 0){
 5             n /= i;
 6             ans   = ans / i * (i-1);
 7             while(n % i == 0){
 8                 n /= i;
 9             }
10         }
11     }
12     if(n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
13     return ans;
14 }

計算方法
φ（n） = n*(1-1/p1)*(1-1/p2)…
其中pi表示的是n的各個質因子
直接列舉質因數計算

其實沒啥技術含量。

自己看一看就好利。畢竟蒟蒻都看懂了嘛

今天的內容就到這，希望大家在做資訊數學題時rp+++；