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前言
題目是暑假的時候某學校活動的題。
由於自己啥都沒學，因此下面的證明裡可能有：
- 不規範表述
- 亂用符號
- 證明不嚴謹
等問題。發現問題歡迎指正。
正文
給定奇素數 \(p\) 滿足 \(p \equiv 2 \pmod 3\)，且 \(f(x) = x^3 \bmod p\). 證明：\(f\) 是 \(\mathbb{Z}_p\) 的一個奇置換當且僅當 \(p \equiv 1 \pmod 4\).
\(f(0)=0\)，因此下面只考慮 \(f\) 作用在 \(\mathbb{Z}_p^*\) 上時的奇偶性。
\((\mathbb{Z}_p^*, \times) \cong (\mathbb{Z}_{\varphi(p)}, +)\)（換句話說就是取離散對數），於是等價於判斷 \(f_1(x) = 3x \bmod (p-1)\) 作用在 \(\mathbb{Z}_{p-1}\) 上的奇偶性。
由於 \(3\) 在 \(\bmod (p-1)\) 意義下存在逆元（\(p-1 \equiv 1 \pmod 3\)），因此 \(f_1\) 是一個置換。
下面考慮 \(\mathbb{Z}_{p-1}\) 中的一個元素 \(x\)，它所在的輪換有多大。
記 \(g = \gcd(p-1, x)\)，則輪換大小為滿足 \(3^t x \equiv x \pmod {p-1}\) 的最小正整數 \(t\)，可得 \(t=ord_3(\dfrac{p-1}{g})\)，其中 \(ord_3(x)\) 表示 \(3\) 在乘法群 \(\mathbb{Z}_{x}^*\) 中的階。
一個輪換對總置換奇偶性的貢獻為 \((輪換大小+1) \bmod 2\)，對其中某個元素而言就要除以該輪換大小. 因此只需（在 \(\bmod 2\) 意義下）求出 \(\sum_{i=1}^{p-2} (1+\dfrac{1}{ord_3(\dfrac{p-1}{\gcd(i, p-1)})})\) 即可。沒有列舉 \(0\) 是因為 \(f_1(0)=0\)。
轉為按 \(\gcd(x, p-1)\) 的值列舉，即求 \(\left(\sum\limits_{g \mid p-1} \varphi(\dfrac{p-1}{g})(1+\dfrac{1}{ord_3(\dfrac{p-1}{g})}) \right) - 1 \times (1+ \dfrac{1}{ord_3(\dfrac{p-1}{p-1})})\).
發現求和符號之外一坨東西算出來為 \(2\)，因此對答案沒有貢獻，直接忽略。求和符號裡面用 \((p-1)/g\) 代替 \(g\) 並拆分一下可得 \(\sum_{g \mid p-1} \varphi(g) + \sum_{g \mid p-1} \dfrac{\varphi(g)}{ord_3(g)}\). 前一半是經典的 OI 結論，可以透過 DGF 推出和為 \(p-1 \equiv 0 \pmod 2\).
對於後半部分 \(\sum_{g \mid p-1} \dfrac{\varphi(g)}{ord_3(g)}\)，考慮對 \(g\) 因數分解，將 \(2\) 的冪拆出來。於是令 \(g=nm\)，\(n\) 為 \(2\) 的冪，\(m\) 為奇數。式子等於 \(\sum_{g \mid p-1} \dfrac{\varphi(n) \varphi(m)}{\mathrm{lcm}(ord_3(n), ord_3(m))} = \sum_{g \mid p-1} \dfrac{\varphi(n) \varphi(m) \gcd(ord_3(n) ord_3(m))}{ord_3(n) ord_3(m)}\)
由升冪定理的推論（可能後面會來補證明？），\(3\) 在乘法群 \(\mathbb{Z}_{2^k}^*\) 中的階為 \(2^{k-2}\)（當 \(k \ge 3\) 時成立）。因此當 \(n = 2^k, k \ge 3\) 時 \(\dfrac{\varphi(n) \varphi(m) \gcd(ord_3(n) ord_3(m))}{ord_3(n) ord_3(m)} = \dfrac{2^{k-1}}{2^{k-2}} \dfrac{\varphi(m) \gcd(ord_3(n) ord_3(m))}{ord_3(m)} \equiv 0 \pmod 2\). 因此 \(8 \mid g\) 時這些項都為 \(0\).
\(n=2\) 時 \(\varphi(2) = \varphi(1) = ord_3(2) = ord_3(1) = 1\)，因此 \(g\) 對應項與 \(g/2\) 對應項之和為 \(0\). 又由於 \(p-1 \equiv 0 \pmod 2\)，因此一定能取到 \(n=2\) 和 \(n=1\).
\(n=4\) 時 \(\varphi(4) = ord_3(4) = 2\).
-
若 \(m\) 不為 \(1\)，則：
- 當 \(\dfrac{\varphi(m)}{ord_3(m)} \equiv 0 \pmod 2\) 時該項為 \(0\).
- 當 \(\dfrac{\varphi(m)}{ord_3(m)} \equiv 1 \pmod 2\) 時，由於 \(\varphi(m) \equiv 0 \pmod 2\)，因此 \(ord_3(m) \equiv 0 \pmod 2\)，於是 \(\gcd(ord_3(4), ord_3(m)) = 2\)，該項為 \(0\).
-
若 \(m\) 為 \(1\)，則：
\(g=4\)，該項為 \(\dfrac{\varphi(4)}{ord_3(4)}=1\).
由此可知，\(f\) 的奇偶性取決於 \(g\) 能否取到 \(4\)，即是否有 \(4 \mid p-1\). 當 \(4 \mid p-1\) 時 \(f\) 為奇置換，否則不是。
於是 \(f\) 是奇置換當且僅當 \(p-1 \equiv 1 \pmod 4\)，原命題得證。