數學女孩1 續寫(繼拙文《數學女孩1 第九章續寫》）--代數基本定理

      實域中兩個真理之間的最短路程是通過復域。
                                                                                                          阿達馬（Jacques Hadamard）

1.複數 鄭可馨&泰朵拉

入夜了，星星掛在窗邊，燈還亮著。

“哥哥，哥哥。”一個女孩跑進我的房間，她把一本書開啟在我的面前。

“這是什麼，我看不懂。”她指著一本書，書上有條公式

""

這個穿著印有大白兔白襯衫和藍色牛仔褲的女孩是我的堂妹，鄭可馨。她喜歡物理數學，是一個勇於探索的初二小女孩。

而我，鄭浩，中國來日本的高一交換生，當然，鄭可馨也是交換生。我們住在父親從前的同事家--我們叫她張姨。

“這是靜止粒子的波函式表示式。”我掃了一下，量子力學科普書。

“我想問的是這 是怎麼得到的。”

“嗯，這是複數。”

“複數？”

“原來你沒見過啊。”

“哥，我大多看物理書一般沒那麼多的數學。”

“好吧，我給你講一講複數吧。”

“起初人們知道的數不過只有自然數，由於物質生活的豐富，有了整數表示收入支出，再有因為人們的需要有了有理數；然後為了解像的方程，我們把有理數擴充套件到了實數，而複數是解像的方程得到的。”

………………………………………………………………………………………………………………

而複數在根嚴謹完整的基礎上構建起來.

複數是指形如

的數。

對於i的平方等於負一，你可以有多種理解，這裡你先認為它是一種數學符號，只是它的平方等於負一罷了。

x我們叫z的實部，記為Re（z），y叫z的虛部，記為Im（z）。當x=0，y≠0時它叫做虛數，當時人們認為這是一種虛幻的數，因為它的平方是負數。比如2i，23.3i等叫虛數。當然y=0時z便是實數。

這些東西在剛剛接觸時你也許會難以理解但熟悉一下便沒有問題啦。

複數的四則運算與實數的一樣。

比如2+3i=1+i+2i+1,(1+i)(1-i)=1-i²=1+1=2,3i(1+2i)=3i+3i×2i=3i+3×2i²=-6+3i。

並且若兩個複數相等，則它們的實部與虛部分別相等。

你可以簡單地計算一些，漸漸地就能掌握它了。

………………………………………………………………………………………………………………

“小馨，你聽懂了嗎？”我看向她。

“明白了，複數就是一種由兩個獨立的實陣列成的數。”

“嗯，也可以這麼理解。”我沒想到她會這樣說，“我出一個題吧。”

“問題1:1/i=？”

“嗯，實數除以虛數？”她沉下頭來思考。

"是-i。"這時的她臉上滿是笑容，“i²=-1，所以i×(-i)=-i²=1,因此1除以i等於-i。”

“哦，是這樣嗎，好，再來一題。”

“放馬過來！”

“問題2:2/（1+i）=？”

“嗯，多少乘（1+i）等於2？”

“小馨，你這是靠湊出來的，你想一想我們是如何計算1/(1+√2)的？”我想教她簡單的演算法。

“哈，明白啦，是分母有理化。2/（1+i）=2×（1-i）/[(1+i)(1-i)]=2（1-i）/(1-i²)=1-i.”她滿臉的自豪。

“嗯，聰明。不過，則應該稱為分母實數化”還有呢，“再來一個問題吧。”

“好。”

問題3：x³=1的解？

“哥哥，難道不是1？”鄭可馨疑惑道。

“當然有一，就像x²=-1，就有兩個解，x=i和x=-i。你得換種解法。”

“那好吧，我試一試。”

“把它們移到一邊，x³-1=0，用一下立方差公式：（x-1）*(x²+x+1)=0.

乘積嗎？

嗯，有兩種情況：

x=1或x²+x+1=0，

誒？不管了，再用一下求根公式，就有

x=（-1±√-3）/2,哈，我明白了，它的三個解就是

x₁=1,x₂=（-1+I√3）/2,x₃=（-1-I√3）/2。”

“真的有三個解!”鄭可馨很是驚訝。

“問題3:1=√（1×1）=√（-1×-1）=√-1×√-1=i²=-1，豈不是說1=-1,這是怎麼回事？”

“啊，這不對吧。”她一臉驚訝。

我看了看她的過程，“嗯，擴充到複數去後，n次方程就有n個解，當然包括重根。這就是著名的代數基本定理。好，再來一個。”

“問題4：i的½次方是多少？”

“嗯？是-1開四分之一次方嗎?”她立馬回答。

“這不準確，你看，複數的平方還是複數，那我們便猜存在z=x+iy(x,y∈R)使得z²=（x+iy)²=i，也就是x²-y²+i2xy=i,於是由複數相等的規定有

x²-y²=0,2xy=1.

可以解得兩個解。也就是說i的½次方是z=±(√2+i√2)/2.”

我繼續說。

“你會發現i的½次方有兩個值，其實分數次方都有多個值，無論實數還是複數。只是一般預設取一個特殊的，比如1的½次方是1和-1，我們一般取1.”

“哥哥，也就是說i的½次方的意思這是一個平方為i的數，而這樣的數有兩個，所以i的½次方就表示兩個數嗎？”

“嗯，或者說，i的½次方也表示x²=i的解。”這個的解釋還是很多的。

“好，最後一個問題了。”

“問題5:1=√（1×1）=√（-1×-1）=√-1×√-1=i²=-1，豈不是說1=-1,這是怎麼回事？”

“啊，這不對吧。”她一臉驚訝。

“別急，等我講了這個你再回答。”

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

你之前說“複數就是一種由兩個獨立的實陣列成的數”，所以，每個複數都由兩個獨立的實數來決定的。那麼每個複數都可以對應於平面上的點，這時複數x+iy對應於點（x，y），這樣的平面就叫複平面，也叫韋塞爾平面。其中x軸叫實軸，y軸叫虛軸。並且點（x，y）關於x軸的對稱點（x，-y）對應的複數x-iy叫複數x+iy的共軛複數。

圖1

比如1+2i對應於點（1，2），3+4i對應於點（3，4）。

這樣不僅拓寬了複數的應用還拓寬了複數的含義。

當然，後面的才是重點。

如圖1，一個平面上的點不僅可以用橫縱座標來表示，還可以用它到原點的距離r和從x軸到它的角度φ來確定。這樣用有序數對（r，φ）表示平面上的點的座標系叫極座標系。運用一些三角函式的知識不難得到這個式子叫直角座標與極座標的座標變換。

所以直角座標系中的點（x，y）也對應極座標系中的點（r，φ），或者說平面上的一個點可以用直角座標（x，y）來表示，也可以用極座標（r，φ）來表示。這時r叫複數x+iy的大小或模，不難發現r=x²+y²=；而φ叫複數x+iy的幅角。

那麼對複數x+iy運用一下上面的座標變換有