生活中很多場合需要用到分類，比如新聞分類、病人分類等等。
本文介紹樸素貝葉斯分類器（Naive Bayes classifier），它是一種簡單有效的常用分類演算法。
一、病人分類的例子
讓我從一個例子開始講起，你會看到貝葉斯分類器很好懂，一點都不難。
某個醫院早上收了六個門診病人，如下表。
症狀 職業 疾病
打噴嚏 護士 感冒
打噴嚏 農夫 過敏
頭痛 建築工人 腦震盪
頭痛 建築工人 感冒
打噴嚏 教師 感冒
頭痛 教師 腦震盪
現在又來了第七個病人，是一個打噴嚏的建築工人。請問他患上感冒的機率有多大？
根據貝葉斯定理：
P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B)
可得
P(感冒|打噴嚏x建築工人)
= P(打噴嚏x建築工人|感冒) x P(感冒)
/ P(打噴嚏x建築工人)
假定"打噴嚏"和"建築工人"這兩個特徵是獨立的，因此，上面的等式就變成了
P(感冒|打噴嚏x建築工人)
= P(打噴嚏|感冒) x P(建築工人|感冒) x P(感冒)
/ P(打噴嚏) x P(建築工人)
這是可以計算的。
P(感冒|打噴嚏x建築工人)
= 0.66 x 0.33 x 0.5 / 0.5 x 0.33
= 0.66
因此，這個打噴嚏的建築工人，有66%的機率是得了感冒。同理，可以計算這個病人患上過敏或腦震盪的機率。比較這幾個機率，就可以知道他最可能得什麼病。
這就是貝葉斯分類器的基本方法：在統計資料的基礎上，依據某些特徵，計算各個類別的機率，從而實現分類。
二、樸素貝葉斯分類器的公式
假設某個體有n項特徵（Feature），分別為F1、F2、...、Fn。現有m個類別（Category），分別為C1、C2、...、Cm。貝葉斯分類器就是計算出機率最大的那個分類，也就是求下面這個算式的最大值：
P(C|F1F2...Fn)
= P(F1F2...Fn|C)P(C) / P(F1F2...Fn)
由於 P(F1F2...Fn) 對於所有的類別都是相同的，可以省略，問題就變成了求
P(F1F2...Fn|C)P(C)
的最大值。
樸素貝葉斯分類器則是更進一步，假設所有特徵都彼此獨立，因此
P(F1F2...Fn|C)P(C)
= P(F1|C)P(F2|C) ... P(Fn|C)P(C)
上式等號右邊的每一項，都可以從統計資料中得到，由此就可以計算出每個類別對應的機率，從而找出最大機率的那個類。
雖然"所有特徵彼此獨立"這個假設，在現實中不太可能成立，但是它可以大大簡化計算，而且有研究表明對分類結果的準確性影響不大。
下面再透過兩個例子，來看如何使用樸素貝葉斯分類器。
三、賬號分類的例子
本例摘自張洋的《演算法雜貨鋪----分類演算法之樸素貝葉斯分類》。
根據某社群網站的抽樣統計，該站10000個賬號中有89%為真實賬號（設為C0），11%為虛假賬號（設為C1）。
C0 = 0.89
C1 = 0.11
接下來，就要用統計資料判斷一個賬號的真實性。假定某一個賬號有以下三個特徵：
F1: 日誌數量/註冊天數
F2: 好友數量/註冊天數
F3: 是否使用真實頭像（真實頭像為1，非真實頭像為0）F1 = 0.1
F2 = 0.2
F3 = 0
請問該賬號是真實賬號還是虛假賬號？
方法是使用樸素貝葉斯分類器，計算下面這個計算式的值。
P(F1|C)P(F2|C)P(F3|C)P(C)
雖然上面這些值可以從統計資料得到，但是這裡有一個問題：F1和F2是連續變數，不適宜按照某個特定值計算機率。
一個技巧是將連續值變為離散值，計算區間的機率。比如將F1分解成[0, 0.05]、(0.05, 0.2)、[0.2, +∞]三個區間，然後計算每個區間的機率。在我們這個例子中，F1等於0.1，落在第二個區間，所以計算的時候，就使用第二個區間的發生機率。
根據統計資料，可得：
P(F1|C0) = 0.5, P(F1|C1) = 0.1
P(F2|C0) = 0.7, P(F2|C1) = 0.2
P(F3|C0) = 0.2, P(F3|C1) = 0.9
因此，
P(F1|C0) P(F2|C0) P(F3|C0) P(C0)
= 0.5 x 0.7 x 0.2 x 0.89
= 0.0623P(F1|C1) P(F2|C1) P(F3|C1) P(C1)
= 0.1 x 0.2 x 0.9 x 0.11
= 0.00198
可以看到，雖然這個使用者沒有使用真實頭像，但是他是真實賬號的機率，比虛假賬號高出30多倍，因此判斷這個賬號為真。
四、性別分類的例子
本例摘自維基百科，關於處理連續變數的另一種方法。
下面是一組人類身體特徵的統計資料。
性別 身高（英尺） 體重（磅） 腳掌（英寸）
男 6 180 12
男 5.92 190 11
男 5.58 170 12
男 5.92 165 10
女 5 100 6
女 5.5 150 8
女 5.42 130 7
女 5.75 150 9
已知某人身高6英尺、體重130磅，腳掌8英寸，請問該人是男是女？
根據樸素貝葉斯分類器，計算下面這個式子的值。
P(身高|性別) x P(體重|性別) x P(腳掌|性別) x P(性別)
這裡的困難在於，由於身高、體重、腳掌都是連續變數，不能採用離散變數的方法計算機率。而且由於樣本太少，所以也無法分成區間計算。怎麼辦？
這時，可以假設男性和女性的身高、體重、腳掌都是正態分佈，透過樣本計算出均值和方差，也就是得到正態分佈的密度函式。有了密度函式，就可以把值代入，算出某一點的密度函式的值。
比如，男性的身高是均值5.855、方差0.035的正態分佈。所以，男性的身高為6英尺的機率的相對值等於1.5789（大於1並沒有關係，因為這裡是密度函式的值，只用來反映各個值的相對可能性）。
有了這些資料以後，就可以計算性別的分類了。
P(身高=6|男) x P(體重=130|男) x P(腳掌=8|男) x P(男)
= 6.1984 x e-9P(身高=6|女) x P(體重=130|女) x P(腳掌=8|女) x P(女)
= 5.3778 x e-4
可以看到，女性的機率比男性要高出將近10000倍，所以判斷該人為女性。
（完）