四位計算機的原理及其實現

你是否想過，計算機為什麼會加減乘除？或者更直接一點，計算機的原理到底是什麼？

Waitingforfriday有一篇詳細的教程，講解了如何自己動手，製作一臺四位計算機。從中可以看到，二進位制、數理邏輯、電子學怎樣融合在一起，構成了現代計算機的基礎。

一、什麼是二進位制？

首先，從最簡單的講起。

計算機內部採用二進位制，每一個數位只有兩種可能"0"和"1"，運算規則是"逢二進一"。舉例來說，有兩個位A和B，它們相加的結果只可能有四種。

這張表就叫做"真值表"（truth table），其中的sum表示"和位"，carry表示"進位"。如果A和B都是0，和就是0，因此"和位"和"進位"都是0；如果A和B有一個為1，另一個為0，和就是1，不需要進位；如果A和B都是1，和就是10，因此"和位"為0，"進位"為1。

二、邏輯閘（Logic Gate）

布林運算（Boolean operation）的規則，可以套用在二進位制加法上。布林運算有三個基本運算子：AND，OR，NOT，又稱"與門"、"或門"、"非門"，合稱"邏輯閘"。它們的運算規則是：

　　AND：如果( A=1 AND B=1 )，則輸出結果為1。

　　OR：如果( A=1 OR B=1 )，則輸出結果為1。

　　NOT：如果( A=1 )，則輸出結果為0。

兩個輸入（A和B）都為1，AND（與門）就輸出1；只要有任意一個輸入（A或B）為1，OR（或門）就輸出1；NOT（非門）的作用，則是輸出一個輸入值的相反值。它們的圖形表示如下：

三、真值表的邏輯閘表示

現在把"真值表"的運算規則，改寫為邏輯閘的形式。

先看sum（和位），我們需要的是這樣一種邏輯：當兩個輸入不相同時，輸出為1，因此運算子應該是OR；當兩個輸入相同時，輸出為0，這可以用兩組AND和NOT的組合實現。最後的邏輯組合圖如下：

再看carry（進位）。它比較簡單，兩個輸入A和B都為1就輸出1，否則就輸出0，因此用一個AND運算子就行了。

現在把sum和carry組合起來，就能得到整張真值表了。這被稱為"半加器"（half-adder），因為它只考慮了單獨兩個位的相加，沒有考慮可能還存在低位進上來的位。

四、擴充套件的真值表和全加器

如果把低位進上來的位，當做第三個輸入（input），也就是說，除了兩個輸入值A和B以外，還存在一個輸入（input）的carry，那麼問題就變成了如何在三個輸入的情況下，得到輸出（output）的sum（和位）和carry（進位）。

這時，真值表被擴充套件成下面的形式：

如果你理解了半加器的設計思路，就不難把它擴充套件到新的真值表，這就是"全加器"（full-adder）了。

五、全加器的串聯

多個全加器串聯起來，就能進行二進位制的多位運算了。

先把全加器簡寫成方塊形式，註明三個輸入（A、B、C_in）和兩個輸出（S和C_out）。

然後，將四個全加器串聯起來，就得到了四位加法器的邏輯圖。

六、邏輯閘的電晶體實現

下一步，就是用電晶體做出邏輯閘的電路。

先看NOT。電晶體的基極（Base）作為輸入，集電極（collector）作為輸出，發射極（emitter）接地。當輸入為1（高電平），電流流向發射極，因此輸出為0；當輸入為0（低電平），電流從集電極流出，因此輸出為1。

接著是AND。這需要兩個電晶體，只有當兩個基極的輸入都為1（高電平），電流才會流向輸出端，得到1。

最後是OR。這也需要兩個電晶體，只要兩個基極中有一個為1（高電平），電流就會流向輸出端，得到1。

七、全加器的電路

將三種邏輯閘的電晶體實現，代入全加器的設計圖，就可以畫出電路圖了。

（點選看大圖）

按照電路圖，用電晶體和電路板組裝出全加器的積體電路。

左邊的三根黃線，分別代表三個輸入A、B、C_in；右邊的兩根綠線，分別代表輸出S和C_out。

八、製作計算機

將四塊全加器的電路串聯起來，就是一臺貨真價實的四位電晶體計算機了，可以計算0000~1111之間的加法。

電路板的下方有兩組各四個開關，標註著"A"和"B"，代表兩個輸入數。從上圖可以看到，A組開關是"上下上上"，代表1011（11）；B組開關是"上下下下"，代表1000（8）。它們的相加結果用五個LED燈表示，上圖中是"亮暗暗亮亮"，代表10011（19），正是1011與1000的和。

九、結論

雖然這個四位計算機非常簡陋，但是從中不難體會到現代計算機的原理。

完成上面的四位加法，需要用到88個電晶體。雖然當代處理器包含的電晶體數以億計，但是本質上都是上面這樣簡單電路的累加。

（完）