2. 湍流的統計描述

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2 .1 Preliminaries

儘管 NS 方程是確定的，但是在湍流中速度場 \(\mathbf{U}(\mathbf{x}, t)\left[\mathrm{~ms}^{-1}\right]\) 是隨機的，主要原因有以下兩點：

1. 在初始條件，邊界條件和材料性質上，會不可避免地有一些小的擾動
2. 湍流場對這種擾動非常敏感
   一個簡單的例子就是，一個乒乓球運動員每次發球的時候非常小的變化，就會讓發球後的軌跡非常不一樣。

對於層流來說，這種影響並不大，所以能夠很精確地透過求解 NS 方程得到置信度很高的解。但是在湍流中，由於 \(\mathbf{U}(\mathbf{x}, t)\left[\mathrm{~ms}^{-1}\right]\) 是隨機的，其精確值很難預測。但是，可以建立一套理論來描述隨機變數場的機率，或者其統計規律（如平均值，標準差）。

2.2 均值和矩

隨機量 \(U\) 的平均值可定義為：

\[\langle U\rangle \equiv \int_{-\infty}^{\infty} V f(V) d V \]

其中 \(f(V)\) 為機率密度函式 (probability density function)。

更一般的情況，如果 \(Q(U)\) 是 \(U\) 的任意一個函式，則 \(Q(U)\) 的均值為：

\[\langle Q(U)\rangle \equiv \int_{-\infty}^{\infty} Q(V) f(V) d V \]

若 \(Q(U)\) 和 \(R(U)\) 均為隨機變數 \(U\) 的函式，則滿足以下方程：

\[\langle[a Q(U)+b R(U)]\rangle=a\langle Q(U)\rangle+b\langle R(U)\rangle \]

即：\(\langle \rangle\) 很類似線性運算元。\(U\) 的脈動 (fluctuation) 可記為 \(u\)，定義為：

\[u \equiv U-\langle U\rangle \]

注：在湍流的知識體系中，一般用大寫字母 \(U\) 表示隨機量，小寫字母 \(u\) 表示脈動量.

方差被定義為脈動量的均方 (mean square)：

\[\left\langle u^{2}\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}(V-\langle U\rangle)^{2} f(V) d V \]

方差 (variance) 的平方根 (square-root) 為標準差 (standard deviation)，可記為：\(\left\langle u^{2}\right\rangle^{1 / 2}\)。在一些教科書中，fluctuation 被表示為 \(u'\)，標準差表示為 \(\sigma_{u}\)

\(n\) 階中心矩 (central moment)可定義為：

\[\mu_{n} \equiv\left\langle u^{n}\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}(V-\langle U\rangle)^{n} f(V) d V \]

2.3 標準化