正態分佈的應用——基於描述性統計與分佈的推論

內容匯入：

大家好，這裡是每天分析一點點。本期介紹描述性統計指標與分佈的基本關係，包括分佈的基本型別，集中趨勢與分佈的關係，離散趨勢與分佈的關係，再結合國民收入案例探討分佈與描述性統計分析在實際生活的應用。文章內容適合資料分析小白，內容深入淺出，案例貼合實際。下期給大家介紹偏度係數，歡迎大家關注。

概念介紹：

分佈的型別：

上期主要給大家介紹了正態分佈，其實除了正態分佈，還有很多的分佈型別，今天就給大家科普一下。標準的二分佈、均勻分佈這樣的古典概型產生的分佈，在這裡就不一一給大家介紹了。本次介紹的分佈，也是統計中較為常用的型別。

第一、T分佈。

如果已知等待分析的總體服從正態分佈，從總體中抽取容量為n的所有可能樣本，對每個樣本都計算出它們相應的T統計量，則所有T統計量的值將組成一個連續型概率分佈，這個分佈就是T分佈，T分佈的概率密度函式為：

t代表T統計量的值；v表示自由度，等於樣本容量n減去1； c為常數，使T分佈函式曲線下的面積等於1。

T分佈有什麼功能呢？大家是否聽說過係數T檢驗，樣本T檢驗。T分佈可以用來判斷兩個連續變數的顯著性，經常用於判斷線性迴歸中的係數是否顯著，如果不顯著，需要剔除該變數重新擬合。一般情況是T檢驗的雙側P值小於5%，視為顯著，大於5%視為不顯著。比如身高與年齡是否有顯著性關係，GDP與投資是否有顯著性關係。

第二、卡方（χ2 ）分佈。

若n個相互獨立的隨機變數ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服從標準正態分佈，則這n個服從標準正態分佈的隨機變數的平方和構成一新的隨機變數，其分佈規律稱為卡方分佈。概率密度函式：

X2代表卡方統計量；e是自然底數，等於2.72； v代表自由度，等於樣本容量n-1； c代表調節常數，使得卡方分佈曲線下方的總面積等於1。

卡方分佈，是用來檢測方差的，通常檢驗一個變數兩個型別的方差是否顯著，通常用於邏輯迴歸中。舉個例子，一個班共60個人，男的35人，女的25人，分析男女身高水平是否有顯著差異，將60個身高資料用男女分開，然後應用卡方分佈進行檢驗。一般情況是卡方檢驗的雙側P值小於5%，視為顯著，大於5%視為不顯著。二分類邏輯迴歸的顯著性檢驗，應用的就是卡方檢驗。

第二、F分佈。

兩個正態分佈總體之間的方差關係。

F統計量其實可以被認為是由兩個卡方（χ2）統計量相除得到的，一般情況是預設將卡方值較大的總體作為分母，卡方值較小的總體作為分子。概率密度函式為：

v1表示F統計量分子的自由度； v2表示F統計量分母的自由度；c代表修正常數，它使得F分佈曲線下方的總面積等於1。

F分佈又是用來幹什麼的呢?做資料分析的你一定用過，但是你未必知道，F檢驗可以用來檢驗方差和函式，是的，檢驗函式，線性迴歸與邏輯迴歸的模型顯著性，就可以用F分佈進行檢驗。一般情況是F檢驗的雙側P值小於5%，視為顯著，大於5%視為不顯著。

分佈與描述性統計分析的關係：

上期問了大家幾個問題，如何描述頻度分佈圖的特點呢？

1、左邊資料多還是右邊資料多？

2、左邊陡峭還是右邊陡峭？

3、是否存在極大極小的離群值？

4、是‘凸’的還是‘凹’的？

5、總體的形狀像什麼？

分佈的資料特點已經相關的作用剛才已經給大家介紹了。分佈的形狀、陡峭程度、離群值特點與描述性通過相關指標有關。接下來，我們來進行具體的瞭解。

集中趨勢與分佈的關係：

經過前幾期的瞭解，我們知道平均值、中位數、眾數是集中趨勢的指標。但是，並不是所有資料中，平均值與中位數都代表這資料的集中趨勢。例如，想正態分佈這樣的倒U型分佈資料，平均值、中位數、眾數就可以代表資料的集中趨勢。形如U型的資料分佈，只有眾數代表集中趨勢，比如49個1，49個99，1個50這樣的資料，平均值中位數是50，眾數是1和99，這個時候只有眾數代表資料集中趨勢。

另外，平均值、中位數、眾數的位置，與分佈圖形的左右形狀有關，當均值小於中位數小於眾數時，分佈形狀是右邊隆起，左邊有長長的尾巴；當均值大於中位數大於眾數時，分佈形狀是左邊隆起，右邊有長長的尾巴。

離散趨勢與分佈的關係：

離散趨勢的指標是極差、方差與標準差，這次我們主要討論標準差。剛才給大家講了資料向左，或者向右移動的指標判斷方式；現在給大家介紹分佈是‘凸’的還是‘凹’的指標。在所有分佈中，都是方差越大，資料分佈越‘凸’，方差越小，資料分佈越‘凹’。如何判定方差是大是小呢？參照相同均值的正態分佈即可。

而且，‘凸’與‘凹’還有更進一步的應用。‘凸’代表眾數比較集中，並且兩端急速下降，展現出來後發現兩側的值與集中的值相差很大，也就意味著，存在著離群值，具體離群值在大的一邊還是小的一邊，結合資料分佈的偏向就可以看出來。‘凹’代表眾數不是很集中，兩邊下降平緩，數值差距不大，意味著資料沒有明顯離群值。

大家看明白了嗎？沒關係，我們貼心的做了小視訊，幫助各位消化理解。大家感興趣的可以關注我們的公眾號進行觀看。

綜合應用場景：

接下來我們來看個有趣的案例吧。

#國家收入水平案例

#（1）一個白領，工資水平高於周圍的人，但是小於國家統計行業工資平均水平，為什麼？

#（2）x為收入，y為對應的人數

x=['1000','2000','3000','4000','5000','6000','7000','8000','9000','10000','20000','30000','40000','50000','1000000','2000000']

y=[1000,3000,7000,10000,14000,16000,14000,8000,1000,500,100,100,100,100,50,50]

要求：計算資料眾數、中位數與平均值，解釋上述現象，並評價國家整體收入狀況。

根據資料，我們畫出圖形，計算出指標，看看到底是怎麼回事？

圖形看著比較“凸”，右側下降陡峭，平均值大於中位數和眾數，存在右側極大離群值。

結論一：我們看到的是眾數，所以收入都比他們高，當將極大值進行平均時，拉高了整體的收入水平。

結論二：平均值大於中位數與眾數，存在極大值，國家收入差距大；資料集中在眾數與中位數週圍，大多數人的收入在同一水平；整體收入水平較低，大多數人收入水平在平均值以下。

本期分享到這裡，我們會在每週持續更新，我們們下期再見，期待您的光臨。

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