SP20848 IGAME - Interesting Game 題解

分析

數位 DP 一眼題。

對於一個 \(k\) 位的數 \(s\)，我們不妨將其看做由數字 \(s_1,s_2,s_3,\dots,s_k\) 這 \(k\) 個數字拼接起來的。而題意是每個人可以將 \(s_1,s_2,s_3,\dots,s_k\) 中的任意一個減去任意數字，保證不減去 \(0\) 且結果 \(\ge 0\)。顯然，在我們將這 \(k\) 個數看成 \(k\) 堆石頭之後，這就是一個取石子游戲。根據博弈結論，若 \(s_1\oplus s_2 \oplus s_3 \oplus \dots \oplus s_k=0\)，則後手存在必勝策略，反之先手存在必勝策略。

對於該題，我們可以用數位 DP 求出區間 \(l,r\) 中各位異或之後結果為 \(0\) 的個數，也就是小 B 必贏的數的個數。而在所有數中，不是小 B 必贏就是小 A 必贏，所以該區間剩下的數的個數就是小 A 必贏的數量。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int t,l,r;
int a[20],len;
int f[20][50];
int dfs(int now,int if_le,int sum){
	if(!now){
		return !sum;
	}
	else if(f[now][sum]!=-1&&!if_le){
		return f[now][sum];
	}
	else{
		int ans=0,up=if_le?a[now]:9;
		for(int i=0;i<=up;i++){
			ans+=dfs(now-1,if_le&&i==up,sum^i);
		}
		return if_le?ans:f[now][sum]=ans;
	}
}
int check(int x){
	len=0,memset(f,-1,sizeof(f));
	while(x){
		a[++len]=x%10,x/=10;
	}
	return dfs(len,1,0);
}
signed main(){
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>l>>r;
		int ans=check(r)-check(l-1);
		cout<<(r-l+1-ans)<<" "<<ans<<"\n";
	}
	return 0;
}