【訓練題19：概率DP】One Person Game | ZOJ3329

One Person Game | ZOJ3329

難度

$6/10$
有一說一，是一道經典概率DP題，個人感覺至少省賽題。
但是看其他部落格都是隨便秒過的 ？？？

題意

你有三個骰子，分別有 $K_1,K_2,K_3$面，每面投擲到的概率都相等，面上標號數字為 $1\sim K_i$

一開始，你的分數為$0$。
每輪：你同時投擲三個骰子，如果第一個骰子頂面為 $a$ 面 ， 第二個骰子頂面為 $b$ 面, 第三個頂面骰子為 $c$ 面 ，那麼你的分數歸零。否則，你的分數增加三個骰子的頂面的和。
如果你的分數超過 $n$，遊戲結束

問你：遊戲開始到遊戲結束，你的投擲骰子次數的期望為多少？
要求答案誤差 $|eps|<10^{-8}$

樣例輸入

組數，$T$
$n{K}_1{K}_2{K}_{3}abc$

$$\begin{gathered} 2 \\ 0222111 \\ 0666111 \end{gathered}$$

樣例輸出

$$\begin{gathered} 1.142857142857143 \\ 1.004651162790698 \end{gathered}$$

思路

• 首先，我們按照前人的經驗，期望得倒著推。
• 設 $e(i)$ 表示目前分數為 $i$ ， 到遊戲結束時的投擲次數的期望。
• 設 $f(i)$ 表示三個骰子投擲出點數和為 $i$ 的概率。
• 特別地，設 $f(0)$ 表示投擲後，第一個骰子頂面為 $a$ 面 ， 第二個骰子頂面為 $b$ 面, 第三個頂面骰子為 $c$ 面的概率。即，每次分數歸零的概率。
• 目前分數為 $i$ ， 我們投擲一次之後三面骰子分別為 $w_1,w_2,w_3$
  • 下次的分數可能為 $i+w_1+w_2+w_3$，這個概率為 $f(w_1+w_2+w_3)$
  • 下次的分數可能為 $0$ ，就是歸零了，這個概率為 $f(0)$
• 易得，如果已經分數超過 $n$ 了，那麼遊戲直接結束，投擲次數期望為0，即：
  • $e(>n)=0$
  • 我們最終的答案即為 $e(0)$
• 我們寫成式子就是 $$e(i)=\underset{k=1}{\sum ^{K_1+K_2+K_3}}f(k)e(i+k)+f(0)e(0)+1$$
• （加一是因為多投擲了一次）
• 注意到，我們期望是逆推的 ($i$ 從大到小)，答案為 $e(0)$，但是其中每一個遞推式子都包括 $e(0)$，這就很頭疼了！

【注】如果 $e(i)$ 每一項遞推式是關於 $e(x)\wedge (x\ge i)$，我們可以把遞推式子的右邊的 $e(i)$ 項拎出來放在左邊，然後轉化為一個左邊只有 $e(i)$ ， 右邊關於 $e(x)\wedge (x>i)$的式子，可以直接遞推。

$這題的套路做法$

• 設 $e(i)=a(i)e(0)+b(i)$
• 我們帶入上述式子，得到：
  $\begin{array}{rl}e(i)& =\sum f(k)e(i+k)+f(0)e(0)+1\\ & =\sum f(k)(a(i+k)e(0)+b(i+k))+f(0)e(0)+1\\ & =(\sum f(k)a(i+k)+f(0))e(0)+(\sum f(k)b(i+k)+1)\\ & =a(i)e(0)+b(i)\end{array}$
• 我們得到了：
  $\{\begin{array}{l}a(i)=\sum f(k)a(i+k)+f(0)\\ b(i)=\sum f(k)b(i+k)+1\end{array}$
• 注意到 $e(x>n)=a(x)e(0)+b(x)=0$
• 我們得到 $a(>n)=b(>n)=0$
• 最後答案為 $e(0)=a(0)e(0)+b(0)$，即：
• 最終答案為 $e(0)=\frac{b(0)}{1-a(0)}$

其他的細節可以參考一下程式碼。

核心程式碼

時間複雜度 $O(K_1{K}_2{K}_3+n^2)$

/*
 _            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|
        __/ |
       |___/
*/
const int MAX = 550;

double a[MAX];
double b[MAX];
double f[MAX];
int main()
{
    int KASE;
    while(cin >> KASE){
        while(KASE--){
            int n,k1,k2,k3,aa,bb,cc;
            cin >> n >> k1 >> k2 >> k3 >> aa >> bb >> cc;
            memset(a,0,sizeof(a));
            memset(b,0,sizeof(b));
            memset(f,0,sizeof(f));

            for(int i = 1;i <= k1;++i)
            for(int j = 1;j <= k2;++j)
            for(int k = 1;k <= k3;++k)		/// 注意算 f(x)時候不要把歸零的答案算進去了
                if(i != aa || j != bb || k != cc)f[i+j+k] += 1.0 / k1 / k2 / k3;

            double f0 = 1.0 / k1 / k2 / k3;
            for(int i = n;i >= 0;--i){
                double t1 = f0,t2 = 1.0;
                for(int k = 3;i + k <= n;++k){
                    t1 += f[k] * a[i + k];
                    t2 += f[k] * b[i + k];
                }
                a[i] = t1;
                b[i] = t2;
            }
            printf("%.15f\n",b[0] / (1.0 - a[0]));
        }
    }
    return 0;
}