19_03_26校內訓練[魔法卡片]

題意

有n張有序的卡片，每張卡片上恰有[1,m]中的每一個數，數字寫在正面或反面。每次詢問區間[l,r]，你可以將卡片上下顛倒，問區間中數字在卡片上方的並的平方和最大是多少。q,n*m≤1,000,000。

---

 

思考

一個很重要的性質，若區間長度≥log m+1,則答案為12+22+33+...+m2。

為什麼?可以動態地觀察。對於沒有出現的數字集合，當前卡片上的數字至少有一半的數字出現在正面或者是反面，因此每次你可以將未出現的數字的數量至少減少一半。每次重複上次操作。

對於長度很小的，我們暴力初始化答案。可以發現，若我們強制不選某一個數字，則一定只有一種方法，即每張卡片有它的均朝下。

因此最多隻有m種方案（可能有重複的）。同時，若區間中的方案數＜pow(2,區間長度)，必然有方法使得所有數字都至少有一個在上方。

---

 

不需要程式碼的程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const ll maxn=1E6+5;
ll min(ll x,ll y){return x<y?x:y;}
ll n,m,q,x,y,g,f[maxn][20],vis[maxn],ti,sum[maxn],v[maxn],bel[maxn];
vector<int>a[maxn];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=m;++i)g+=i*i;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        cin>>x;
        for(int j=0;j<=m;++j)a[i].push_back(0);
        for(int j=1;j<=x;++j)
        {
            cin>>y;
            a[i][y]=1;
        }
    }
    for(int l=1;l<=n;++l)
    {
        for(int i=1;i<=m;++i)bel[i]=0;
        for(int r=l;r<=min(n,l+19);++r)
        {
            ++ti;
            if(l!=r&&f[l][r-l]==g){f[l][r-l+1]=g;continue;}
            int cur=1<<(r-l+1);
            for(int i=1;i<=m;++i)
            {
                if(a[r][i])bel[i]|=1<<(r-l);//1或0其實是等價的 
                if(vis[bel[i]]!=ti)
                {
                    vis[bel[i]]=ti;
                    sum[bel[i]]=0;
                    --cur;
                }
            }
            if(cur>0)f[l][r-l+1]=g;
            else
            {
                for(int i=1;i<=m;++i)sum[bel[i]]+=i*i;
                for(int i=1;i<=m;++i)f[l][r-l+1]=max(f[l][r-l+1],g-sum[bel[i]]);
            }
        }
    }
    while(q--)
    {
        cin>>x>>y;
        if(x>y)swap(x,y);
        if(y-x+1>=20)cout<<g<<endl;
        else cout<<f[x][y-x+1]<<endl;
    }
    return 0;
}