kosaraju 演算法

發表於2024-02-28
演算法

以前學習了演算法，但是因為沒有記錄下來，最近又要重新開始學習了，這次就將我的學習經歷彙總成文章，記錄下來。

科薩拉朱演算法（英語：Kosaraju's algorithm），也被稱為科薩拉朱—夏爾演算法，是一個在線性時間內尋找一個有向圖 "圖 (數學)")中的強連通分量的演算法。

首先我們需要知道幾個概念

有向圖

邊為有方向的圖稱作有向圖（英語：directed graph或digraph）。

有向圖的一種比較嚴格的定義是這樣的：一個二元組\( G=(V,E) \)，其中

  • \( V \)是節點的集合；
  • \( {\displaystyle E\subseteq {(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\wedge x\neq y}} \)是邊（也稱為有向邊，英語：directed edge或directed link；或弧，英語：arcs）的集合，其中的元素是節點的有序對。

下圖是一個簡單的有向圖：

強連通分量

有向圖中，儘可能多的若干頂點組成的子圖中，這些頂點都是相互可到達的，則這些頂點成為一個強連通分量。

其實求解強連通分量的演算法並不止一種，除了Kosaraju之外還有大名鼎鼎的Tarjan演算法可以用來求解。但相比Tarjan演算法，Kosaraju演算法更加==直觀==，更加==容易理解==。

DFS 生成樹

先來了解 DFS 生成樹，我們以下面的有向圖為例：

有向圖的 DFS 生成樹主要有 4 種邊（不一定全部出現）：

  1. 樹邊（tree edge）：示意圖中以黑色邊表示，每次搜尋找到一個還沒有訪問過的結點的時候就形成了一條樹邊。
  2. 反祖邊（back edge）：示意圖中以紅色邊表示（即 \( 7 \rightarrow 1 \)），也被叫做回邊，即指向祖先結點的邊。
  3. 橫叉邊（cross edge）：示意圖中以藍色邊表示（即 \( 9 \rightarrow 7 \)），它主要是在搜尋的時候遇到了一個已經訪問過的結點，但是這個結點 並不是 當前結點的祖先。
  4. 前向邊（forward edge）：示意圖中以綠色邊表示（即 \( 3 \rightarrow 6 \)），它是在搜尋的時候遇到子樹中的結點的時候形成的。

這是使用 js 實現的一個簡單的 DFS：

const depth1 = (dom, nodeList) => {
    dom.children.forEach((element) => {
        depth1(element, nodeList) 
    }) 
    nodeList.push(dom.name) 
}

我們考慮 DFS 生成樹與強連通分量之間的關係。

如果結點 \( u \)  是某個強連通分量在搜尋樹中遇到的第一個結點，那麼這個強連通分量的其餘結點肯定是在搜尋樹中以 \( u \) 為根的子樹中。結點 \( u \) 被稱為這個強連通分量的根。

反證法：假設有個結點 \( v \) 在該強連通分量中但是不在以 $u$ 為根的子樹中，那麼 \( u \) 到 \( v \) 的路徑中肯定有一條離開子樹的邊。但是這樣的邊只可能是橫叉邊或者反祖邊，然而這兩條邊都要求指向的結點已經被訪問過了，這就和 \( u \) 是第一個訪問的結點矛盾了。得證。

Kosaraju 演算法

該演算法依靠兩次簡單的 DFS 實現：

第一次 DFS，選取任意頂點作為起點，遍歷所有未訪問過的頂點，並在回溯之前給頂點編號，也就是後序遍歷。

第二次 DFS，對於反向後的圖，以標號最大的頂點作為起點開始 DFS。這樣遍歷到的頂點集合就是一個強連通分量。對於所有未訪問過的結點，選取標號最大的，重複上述過程。

兩次 DFS 結束後，強連通分量就找出來了，Kosaraju 演算法的時間複雜度為 \( O(n+m) \) 。

這裡利用下網上的演算法，簡單表示一下：

N = 7
graph, rgraph = [[] for _ in range(N)], [[] for _ in range(N)]
used = [False for _ in range(N)]
popped = []


# 建圖
def add_edge(u, v):
    graph[u].append(v)
    rgraph[v].append(u)


# 正向遍歷
def dfs(u):
    used[u] = True
    for v in graph[u]:
        if not used[v]:
            dfs(v)
    popped.append(u)


# 反向遍歷
def rdfs(u, scc):
    used[u] = True
    scc.append(u)
    for v in rgraph[u]:
        if not used[v]:
            rdfs(v, scc)
            
# 建圖，測試資料         
def build_graph():
    add_edge(1, 3)
    add_edge(1, 2)
    add_edge(2, 4)
    add_edge(3, 4)
    add_edge(3, 5)
    add_edge(4, 1)
    add_edge(4, 6)
    add_edge(5, 6)


if __name__ == "__main__":
    build_graph()
    for i in range(1, N):
        if not used[i]:
            dfs(i)

    used = [False for _ in range(N)]
    # 將第一次dfs出棧順序反向
    popped.reverse()
    for i in popped:
        if not used[i]:
            scc = []
            rdfs(i, scc)
            print(scc)

動畫演示

動畫演示和標準的 Kosaraju 演算法有點不一樣：它是先 DFS 遍歷頂點得到逆後序排序，然後再將有向圖置為反向圖，按照逆後序排序取出頂點，深度優先搜尋反向圖。結果和 Kosaraju 演算法一致。

引用、推薦

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