kosaraju 演算法

以前學習了演算法，但是因為沒有記錄下來，最近又要重新開始學習了，這次就將我的學習經歷彙總成文章，記錄下來。

科薩拉朱演算法（英語：Kosaraju's algorithm），也被稱為科薩拉朱—夏爾演算法，是一個在線性時間內尋找一個有向圖 "圖 (數學)")中的強連通分量的演算法。

首先我們需要知道幾個概念

有向圖

邊為有方向的圖稱作有向圖（英語：directed graph或digraph）。

有向圖的一種比較嚴格的定義是這樣的：一個二元組$ G=(V,E) $，其中

$ V $是節點的集合；
$ {\displaystyle E\subseteq {(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\wedge x\neq y}} $是邊（也稱為有向邊，英語：directed edge或directed link；或弧，英語：arcs）的集合，其中的元素是節點的有序對。

下圖是一個簡單的有向圖：

強連通分量

有向圖中，儘可能多的若干頂點組成的子圖中，這些頂點都是相互可到達的，則這些頂點成為一個強連通分量。

其實求解強連通分量的演算法並不止一種，除了Kosaraju之外還有大名鼎鼎的Tarjan演算法可以用來求解。但相比Tarjan演算法，Kosaraju演算法更加==直觀==，更加==容易理解==。

DFS 生成樹

先來了解 DFS 生成樹，我們以下面的有向圖為例：

有向圖的 DFS 生成樹主要有 4 種邊（不一定全部出現）：

樹邊（tree edge）：示意圖中以黑色邊表示，每次搜尋找到一個還沒有訪問過的結點的時候就形成了一條樹邊。
反祖邊（back edge）：示意圖中以紅色邊表示（即 $ 7 \rightarrow 1 $），也被叫做回邊，即指向祖先結點的邊。
橫叉邊（cross edge）：示意圖中以藍色邊表示（即 $ 9 \rightarrow 7 $），它主要是在搜尋的時候遇到了一個已經訪問過的結點，但是這個結點 並不是 當前結點的祖先。
前向邊（forward edge）：示意圖中以綠色邊表示（即 $ 3 \rightarrow 6 $），它是在搜尋的時候遇到子樹中的結點的時候形成的。

這是使用 js 實現的一個簡單的 DFS：

const depth1 = (dom, nodeList) => {
    dom.children.forEach((element) => {
        depth1(element, nodeList) 
    }) 
    nodeList.push(dom.name) 
}

我們考慮 DFS 生成樹與強連通分量之間的關係。

如果結點 $ u $ 是某個強連通分量在搜尋樹中遇到的第一個結點，那麼這個強連通分量的其餘結點肯定是在搜尋樹中以 $ u $ 為根的子樹中。結點 $ u $ 被稱為這個強連通分量的根。

反證法：假設有個結點 $ v $ 在該強連通分量中但是不在以 $u$ 為根的子樹中，那麼 $ u $ 到 $ v $ 的路徑中肯定有一條離開子樹的邊。但是這樣的邊只可能是橫叉邊或者反祖邊，然而這兩條邊都要求指向的結點已經被訪問過了，這就和 $ u $ 是第一個訪問的結點矛盾了。得證。