一文帶你零基礎深入理解隨機變數，機率分佈與統計量

Lily發表於2023-11-07

一. 隨機事件與機率

1.1 隨機現象

在自然界和人類活動中，發生的現象多種多樣，比如下列這些現象：

1. 偶數能被2整除　　　　　　　　　　　　2. 光的速度是常數　　　　　　　 3. 一家門店一天之內的訂單量

4. 一個新生兒可能是男生也可能是女生　　 5. AB實驗存在對照組和實驗組　　 6. 李華上廁所的時間

不難發現，其中①②⑤這類現象在一定條件下必然發生，我們稱這類現象是確定性現象。在③④⑥現象中，事先無法預知會出現哪個結果，我們稱這類結果不確定的現象為隨機現象。

由於隨機現象結果在一次實驗中不缺定的，在大量重複試驗中結果將呈現某種規律性，例如相對比較穩定的性別比例，這種規律性稱為統計規律性。為了研究隨機現象的統計規律性，就要對客觀事物進行觀察，觀察的過程叫隨機試驗（簡稱試驗）。例如，為了研究一家門店的客流情況，可以反覆地觀察並記錄門店的客流。

隨機試驗有三個特點：（1）在相同的條件下試驗可以重複進行；（2）每次試驗的結果不止一種，但是試驗之前必須明確試驗的所有可能結果；（3）每次試驗將會出現什麼樣的結果是事先無法預知的．

PS：實驗：為了檢驗某種科學理論或假設而進行某種操作或從事某種活動。試驗：為了察看某事的結果或某物的效能而從事某種活動。

1.2 樣本空間

隨機試驗的一切可能結果組成的集合稱為樣本空間，記為Ω={ω}，其中ω表示試驗的每一個可能結果，又稱為樣本點，即樣本空間為全體樣本點的集合。

下面給出以③④⑥為隨機試驗的樣本空間：Ω3={0, 1, 2, ..., n, ...}，Ω4={'Male'，'female'}，Ω6={t: t>0}，樣本空間中的元素可以是數，也可以不是數．從樣本空間中含有樣本點的個數來看，可以是有限個也可以是無限個；可以是可列個也可以是不可列個。

1.3 隨機事件

在隨機試驗中，常常會關心其中某一些結果是否出現．例如，一家門店的客流，關心客流是否低於800；李華上廁所的時間是否超過20分鐘等．這些在一次試驗中可能出現，也可能不出現的一類結果稱為隨機事件，簡稱為事件，隨機事件通常用大寫字母A，B，C，…表示。例如關心客流是否低於800，定義A=“門店客流大於800”是一個可能發生也可能不發生的隨機事件，可描述為A={n: n>800 | n ∈N}，它是樣本空間Ω={n: n ∈N}的一個子集．所以，從集合的角度來說，樣本空間的部分樣本點組成的集合稱為隨機事件。

必然事件：Ω　　不可能事件：∅　

1.4 機率的定義和性質

在n次試驗中如果事件A出現了a次，則稱比值a/n為這n次試驗中事件A出現的頻率．a稱為事件A發生的頻數．機率的統計定義為：隨著試驗次數n的增大，頻率值逐步“穩定”到一個實數，這個實數稱為事件A發生的機率。(還有公理化定義)

機率的性質

① P(Ω) = 1　　② P(∅) = 0　　③

1.5 條件機率，全機率和貝葉斯公式

條件機率是指在某隨機事件A發生的條件下，另一隨機事件B發生的機率，記為P（B|A），它與P（B）是不同的兩類機率．設E是隨機試驗，Ω是樣本空間，A，B是隨機試驗E上的兩個隨機事件且P（A）>0，稱 P(B | A) = P(AB) / P(A) 為在事件A發生的條件下事件B發生的機率，稱為條件機率，記為P(B|A)。例如：假設一批顧客中有客單為25元，35元，50元的顧客共200人，100人， 50人，現從中抽取一位顧客，發現其客單不是50元，則抽取的顧客客單為25元的機率可表示為 P(客單為25 | 客單不為50)

設B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個完備事件組，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），A為任一事件，則

其中，完備事件組即對樣本空間的一個分割。

設B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個完備事件組，且P(Bi) > 0 (i=1，2，…，n)，A為滿足條件P(A)＞0的任一事件，則

以下圖為例：其中B1，B2, ..., B6，對整個樣本空間進行了劃分，他們之間兩兩的交集為空集，並且並集為整個樣本空間。

思考題：n（n≤365）個人中至少有兩個人的生日相同的機率是多少？

二. 隨機變數與分佈

2.1 隨機變數的定義

在隨機試驗E中，Ω是相應的樣本空間，如果對Ω中的每一個樣本點ω，有唯一一個實數X（ω）與它對應，那麼就把這個定義域為Ω的單值實值函式X=X（ω）稱為（一維）隨機變數．隨機變數一般用大寫字母X，Y等來表示，隨機變數的取值一般用小寫字母x，y等來表示．如果一個隨機變數僅可能取有限或可列個值，則稱其為離散型隨機變數．如果一個隨機變數的取值充滿了數軸上的一個區間（或某幾個區間的並），則稱其為非離散型隨機變數．連續型隨機變數就是非離散型隨機變數中最常見的一類隨機變數．

隨機變數的定義可直觀解釋為：隨機變數X是樣本點的函式，這個函式的自變數是樣本點，可以是數，也可以不是數，定義域是樣本空間，而因變數必須是實數．這個函式可以讓不同的樣本點對應不同的實數，也可以讓多個樣本點對應於一個實數．

2.2 隨機變數的分佈函式

設X是一個隨機變數，對於任意實數x，稱函式 F(x) = P(X≤x)，-∞<x<+∞為隨機變數X的分佈函式．對任意的兩個實數-∞＜a＜b＜+∞，有 P(a<X≤b) = F(b) - F(a)．因此，只要已知X的分佈函式，就可以知道 X 落在任一區間（a，b］內的機率，所以說，分佈函式可以完整地描述一個隨機變數的統計規律性．

從這個定義可以看出: (1) 分佈函式是定義在（-∞，+∞）上，取值在［0，1］上的一個函式；(2) 任一隨機變數X都有且僅有一個分佈函式，有了分佈函式，就可計算與隨機變數X相關事件的機率問題．

例1. 設一盒子中裝有10個球，其中5個球上標有數字1，3個球上標有數字2，2個球上標有數字3．從中任取一球，記隨機變數X表示為“取得的球上標有的數字”，求X的分佈函式F(x).

　　解: 根據題意可知，隨機變數X可取1，2，3，可知對應的機率值分別為0.5，0.3，0.2．分佈函式的定義為 F(x) = P(X≤x)，因此當 x<1 時，機率 P(X≤x) = 0；當1≤x<2時，機率P（X≤x）=P（X=1）=0.5；當2≤x<3時，機率P（X≤x）=P（X=1）+P（X=2）=0.5+0.3=0.8；當x≥3時，隨機事件{X≤x}為必然事件，因此P（X≤x）=1，即 P(X≤x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.5 + 0.3 + 0.2 = 1．

2.3 離散型隨機變數及其分佈律

設E是隨機試驗，Ω是相應的樣本空間，X是Ω上的隨機變數，若X的值域（記為ΩX）為有限集或可列集，此時稱X為（一維）離散型隨機變數．若一維離散型隨機變數X的取值為x1，x2，…，xn，…，稱相應的機率P(X=xi) = pi，i=1，2，…為離散型隨機變數X的分佈律(或分佈列、機率函式)．若一維離散型隨機變數X的取值為x1，x2，…，xn，…，稱相應的機率P(X=xi)=pi，i=1，2，…為離散型隨機變數X的分佈律(或分佈列、機率函式)．

2.3 連續型隨機變數及其密度函式

連續型隨機變數的取值充滿了數軸上的一個區間（或某幾個區間的並），在這個區間裡有無窮不可列個實數，因此當我們描述連續型隨機變數時，用來描述離散型隨機變數的分佈律就沒法再使用了，而要改用機率密度函式來表示．設E是隨機試驗，Ω是相應的樣本空間，X是Ω上的隨機變數，F(x) 是X的分佈函式，若存在非負函式 f(x) 使得

則稱X為 (一維) 連續型隨機變數，f(x) 稱為X的 (機率) 密度函式，滿足：(1) 非負性 f(x) ≥ 0，-∞<x<+∞；(2) 規範性

機率密度函式 f(x) 與分佈函式 F(x) 之間的關係如圖所示，F(x) = P(X≤x) 恰好是 f(x) 在區間 (-∞，x] 上的積分，也即是圖中陰影部分的面積．

連續型隨機變數具有下列性質: (1)分佈函式 F(x) 是連續函式，在 f(x) 的連續點處，F′(x) = f(x) ；（2）對任意一個常數c，-∞<c<+∞，P(X=c) = 0，所以，在事件 {a≤X≤b} 中剔除 X=a 或剔除 X=b ，都不影響機率的大小，即P(a≤X≤b) = P(a<X≤b) = P(a≤X<b) = P(a<X<b)．需注意的是，這個性質對離散型隨機變數是不成立的，恰恰相反，離散型隨機變數計算的就是“點點機率”．

2.3 常見的離散型和連續型隨機變數

常見的離散型隨機變數：二項分佈，泊松分佈，超幾何分佈，幾何分佈與負二項分佈......

常見的連續型隨機變數：均勻分佈，指數分佈，正態分佈，幾何分佈與負二項分佈......

三. 隨機變數的數字特徵

3.1 期望與方差

離散型隨機變數X的數學期望，也稱作期望或均值，計算公式如下：

連續型隨機變數X的數學期望，也稱作期望或均值，計算公式如下：

設X是一個隨機變數，如果E{[X-E(X)]2}存在，則稱

為隨機變數X的方差．稱方差 D(X) 的算術平方根

為隨機變數X的標準差．

在機器學習的建模中，通常會出資料進行標準化，標準化的計算公式為：

X*為X的標準化隨機變數，標準化隨機變數將其中心平移至原點，使其分佈不偏左也不偏右，其期望為0；同時將隨機變數取值壓縮至原來的 1/sqrt(D(x)) 使其分佈不疏也不密，壓縮改變了分佈的波動程度，方差變為1，這就是“標準化”的含義.

3.2 協方差

協方差：設（X，Y）是二維隨機變數，如果E{ [ X - E(X) ] [ Y - E(Y) ] }存在，則稱：

協方差反映了X和Y之間的關係，究竟是什麼關係？可設Z = [X-E(X)][Y-E(Y)]，cov(X, Y) = E(Z)．若cov(X, Y) > 0，事件{ Z > 0 }更有可能發生，即事件{ X > E(X) } ∩ { Y > E(Y) }或{ X < E(X) } ∩ { Y < E(Y) }發生的可能性更大，說明X和Y均有同時大於或同時小於各自平均值的趨勢；若cov(X, Y) < 0，事件{ Z < 0 }更有可能發生，即事件{ X > E(X) } ∩ { Y < E(Y) }或{ X < E(X) } ∩ { Y > E(Y) }發生的可能性更大，說明X和Y中有一個有大於其平均值的趨勢另一個有小於其平均值的趨勢．所以說協方差反映了隨機變數X和Y之間“協同”變化的關係．當Y就是X時，cov(X, Y) = cov(X, X) = D(X) 協方差即為方差，這就是我們稱其為協方差的原因．

3.3 相關係數

協方差考察了隨機變數之間協同變化的關係，但在使用中存在這樣一個問題．例如，要討論新生嬰兒的身高X和體重Y的協方差，若採用兩種不同的單位，米和千克或者釐米和克，後者協方差是前者的100000倍！由於量綱的不同導致X與Y的協方差前後不同．為避免這樣的情形發生，將隨機變數標準化，再求協方差cov(X*，Y*)，這就是隨機變數X和Y的相關係數，又稱為標準化協方差．所以有相關係數的定義如下: