random variables

Def

random variable

A random variable X is a function than assigns a number to every outcome of an experiment.
隨機變數是一個單實值函式，是一個函式、函式、函式！

domain

the underlying sample space.

range

the set of all possible values of X.
函式值的範圍

equivalent event

函式值對應的sample space中的事件，他們發生的概率相同

Properties

1. fixed and deterministic，確定性的

Discrete R.V.

Def

離散型隨機變數的函式值是可數的，但它可以定義在結果有限可數的實驗上，也可以在無限不可數的實驗上。

計算方法

1. 計算equivalent event的概率
2. pmf
3. cdf

Probability Mass Function概率密度函式

Def

p X ( x ) = P [ X = x ] = P [ { ξ ∈ X ( ξ ) = x } ] p_X(x) = P[X = x] = P[\{\xi \in X(\xi) = x\}] pX​(x)=P[X=x]=P[{ξ∈X(ξ)=x}]
用來表示離散型隨機變數概率的函式。
$p_X(x)$幾乎在任何點的值都為0，所以一定要寫$otherwise$.
pmf一般畫表或者列舉概率，而不會寫成函式的形式。

Properties

1. $p_X(x)\ge 0$，概率恆為正
2. $\sum p_X(x)=0$，所有event的概率和恆為1.
3. $P[X\in B]={\sum }_{x\in B}{p}_X(x)$

一些離散型隨機變數

Discrete Uniform RV

Bernoully RV

假設一個實驗A只進行一次，只能成功或失敗，bernoully RV就是A的indicator function。
$$I_A(\xi )=\{\begin{array}{rlr}& 0,& “failure”\\ & 1,& “success”\end{array}$$

Binomial RV

n次Bernoully experiment。

其他公式

1. 常用級數公式：
   $$\sum _{k=1}^{\infty }{x}^{k-1}=\frac{1}{1-x}$$