過原點的兩向量\(u\)與向量\(v\)垂直相當於點\(a\)到點\(b\)的距離與點\(a\)到點\(-b\)的距離相等，也即它們的距離的平方相等。
計算點\(a\)到點\(-b\)的距離：
\(\begin{align} [distance(a,-b)]^2&=\lVert u-(-v)\rVert ^2=\lVert u+v\rVert ^2\\ &=(u+v)\cdot(u+v)\\ &=u\cdot(u+v)+v\cdot(u+v)\\ &=u\cdot u+u\cdot v+v\cdot u+v\cdot v\\ &=\lVert u\rVert^2+\lVert v\rVert ^2 +2u\cdot v\\ \end{align}\)
將\(-b\)與\(b\)互換：
\(\begin{align} [distance(a,b)]^2&=\lVert u\rVert^2+\lVert -v\rVert ^2 +2u\cdot (-v)\\ &=\lVert u\rVert^2+\lVert v\rVert ^2 -2u\cdot v\\ \end{align}\)
兩個距離平方相等的充分必要條件是：\(2u\cdot v=-2u\cdot v\)，即\(u\cdot v=0\)。
如果\(u\cdot v=0\)，則向量\(u\)和向量\(v\)是（相互）正交的，這兩個向量在空間中（相互）垂直。
兩個向量\(u\)和\(v\)正交的充分必要條件是\(\lVert u+v\rVert ^2=\lVert u\rVert ^2+ \lVert v\rVert ^2\)（勾股定理）。