這個條件有點不好處理，考慮找一些好處理的性質來做這道題。
首先，大體思路是套路的，我們掃描 \(r\)，去更新答案，然後我們考慮維護指標 \(l\)，我們首先希望區間子圖 \([l,r]\) 有且僅有一個簡單環，考慮用 LCT 維護，具體是維護一棵樹與一條邊，這條邊是多出來的邊，顯然這條邊連著的點都在環內。
而我們現在需要增加一條邊，若我們加入一條邊會產生新的環，我們需要丟掉一些邊，也就是讓 \(l\) 右移，如果右移到多出來的邊，設這條邊為 \(rem\)，直接讓 \(rem\) 等於 \(0\) 即可。否則如果刪去 \(E_l\) 時，\(rem\) 可以放入樹中，那麼我們將其放入並讓 \(rem\) 等於 \(0\) 即可。
求出 \(l\) 後，題目要求環以外的點度數都不超過 \(2\)，我們可以維護當前擁有的度數超過 \(2\) 的個數和在環內度數超過 \(2\) 的個數，前者直接維護，後者 LCT 維護，由於每刪一條邊可以使前者減少但不一定使後者減少，所以具有單調性，可以直接移動 \(l\)。
最後題目要求是連通圖，然而注意到現在我們只有一個簡單環，那麼現在其實是要求 \(|V|=|E|\)，由於當前區間 \([l,r]\) 內的區間子圖肯定滿足 \(|V|-|E|\ge 0\)，那麼肯定只有 \(|V|-|E|=0\) 時的區間可以產生貢獻，我們可以維護一棵線段樹，每個區間維護 \(|V|-|E|\) 的最小值，在增加貢獻時只有最小值為零的區間可以增加。
然後是一些線段樹和算貢獻的小細節，巨佬可以跳過。由於我們求的是所有區間，所以我們在每個 \(r\) 都增加一次貢獻，然後每個詢問 \(ql,qr\) 在 \(r=qr\) 時算貢獻就行了。
然後就是下傳標記的細節。由於我們會先更新最小值再增加貢獻，所以標記下傳順序應是最小值在先。還有一些維護方法可以看程式碼。
時間複雜度 \(\mathcal{O}((n+q)\log n)\)。