題意簡述
互動題，給定集合 \(S=\{1,2,\cdots,n\}\) 和一個隱藏的數 \(m\)，你需要使用不超過 \(10^4\) 次操作猜出 \(m\)，操作型別如下：
A x，查詢在 \(S\) 中是 \(x\) 的倍數的數的個數。B x，查詢在 \(S\) 中是 \(x\) 的倍數的數的個數，並把這些數刪去，但是 \(m\) 不會被刪去。C x，表示你猜的 \(m=x\)。
\(1\le m\le n\le 10^5\)。
分析
給出一個常數：\(p(10^5)=9592，r(10^5)\approx9700\)，\(p(n)\) 指的是 \([1,n]\) 的質數個數，\(r(n)\) 指的是 \([1,n]\) 的質數。
考慮到每個 \(m\) 都可以寫成唯一分解的形式 \(\prod_i p_i^{c_i}\)，考慮列舉每一個 \(p_i\)，使用一次 B 操作刪去 \(p_i\) 的所有倍數，然後查詢此時 \(p_i\) 倍數個數。若為 \(1\)，那麼 \(p_i\) 是 \(m\) 的其中一個質因子，暴力列舉每一個 \(p_i^k\) 使用 A 操作就能得到 \(m\) 在這個質因數下的具體指數。
但這樣的詢問次數是 \(p(n)+r(n)\approx19200>10^4\)，不能透過。
考慮最佳化，一個很經典的套路是對質因子根號分治，設閾值 \(B=\sqrt n\)，\(\le B\) 的質因子可以向之前那樣暴力計算，而質數冪的數量大概在 \(\dfrac{B}{\ln B}\times \log_{p} n=O(B)\) 量級，次數較小，可以承受。
而 \(m\) 至多有一個 \(>B\) 的質因子，若 \(m\) 不為 \(1\) 或者 \(>B\) 的質數，那麼我們只需要對每個質因子使用 A 操作，若 \(m\) 包含某個質因子，那麼在對這個質因子使用 A 操作返回的答案是 \(2\)，那麼只需要 \(p(n)\) 次操作就可以求出答案。
但如果 \(m\) 為 \(1\) 或者 \(>B\) 的質數，無論對那個質因子操作返回的答案都是 \(1\)，這種情況下我們只能使用暴力方案求解，次數還是爆炸。
發現對每個質因子都使用 A 操作 check 太浪費了，考慮把多個質因子批次刪除之後一起使用 A 操作 check。對質因子分塊，設塊長 \(C=100\)，考慮逐塊查詢，將塊內質因子用 B 操作刪掉後查詢 A 1，若返回的答案不為 剩餘的質因子數+1，那麼 \(m\) 落在這個塊內，暴力 check 即可。次數為 \(B+p(n)-p(B)+C+\frac{p(n)}{C}\le 10^4\)，可以透過。