圖解虛數 - A Visual, Intuitive Gudie to Imaginary Numbers

虛數總是讓我困擾，就像在指數 e 的理解上，大多數解釋都可以劃分為這兩類之中的一種：

• 它是一個數學的抽象，解決了一些等式。去好好地處理好它吧~

• 相信我們，它用於高階物理。等到大學你就可以學到了。

哈，這真是一個鼓勵孩子去學習數學的一個“極佳”方式！今天，我們用一些我們最愛的工具來解決這個問題：

• 把焦點放在「關係」上，而不是數學公式；

• 將複數視為對現有數字系統的一次升級，就像曾經的 0，小數以及負數升級了當時的數字系統那樣；

• 通過視覺圖表而不是文字來理解概念。

以及我們的祕密武器：通過類比。我們將會通過觀察它的來源、負數來了解虛數。下面便是你的指南：

*sqrt(n) 指求 n 的平方根

現在你可能還看不懂上面的指南，但是先放在這兒。最終我們會搞定虛數 i，然後將它存放在你深深的腦海裡~

真正地瞭解負數

負數並不簡單。想像你是一位 18 世紀的歐洲數學家，你能寫出 4-3=1，這很簡單。

但是，如果是3-4呢？什麼？這到底意味著什麼呢？怎麼能從 3 頭奶牛中牽走 4 頭呢？怎麼可能比什麼都沒有還少呢？

負數曾被看作是荒謬的東西，是一種“使得等式的整個學說都變得灰暗”的東西(Francis Maseres, 1759)。然而在今天，把負數看成是沒有邏輯或者沒有用才是荒謬的。去問問你的老師，問他們負數是否改變了數學的整個根基。

這是發生了什麼呢？是我們發明了一種非常有用的理論數字。我們不能觸控或者拿到負數，但是在描述某些關係時用負數非常方便（比如債務）。它是一個非常有用的設想。

相比於“我欠你 30”這種需要通過閱讀詞語來判斷是負債與否，我可以寫“-30”，這意味著我在負債。如果我掙到錢了，還清了債務(-30+1000=70)，我可以輕易地就記錄下這筆交易。我有 +70 的富餘，這意味著我的債務還清了。

正數和負數的符號自動地追隨了交易的流動方向——你不再需要一個句子去描述每一筆交易對債務帶來的變化。數學變得更加簡單、更加優雅。負數可不可感知、是不是真實存在不再重要——因為它們擁有有用的屬性，我們使用了它直到它成為了日常生活的每一個部分。在今天，如果有人“無法接受”負數，你可以說他們真的是駭人聽聞。

但是還是不要對這種艱難的轉變沾沾自喜：負數曾經是一個非常巨大的思想轉變。即使如尤拉，這位發現了指數 e 等更多發現的天才，也無法像我們今天這樣去理解負數。當時負數被當作是“無意義的”結果（後來他彌補了這一點，令人敬佩）。

這也證明了我們的思想潛能，即今天的孩子們期望去理解那些曾經困惑了古代數學家的問題。

進入虛數

虛數有一個簡單的故事。我們可以整天去解決這樣的等式：

它的答案是 3 和 -3。但是如果有一個聰明的人給它新增了一個小小的符號：

阿歐~這個問題讓大多數人在看到它第一眼的時候就感覺到了尷尬。你想要對一個小於 0 的數字求平方根？荒謬！（歷史上這個確實是要解決的問題，但我喜歡把它設想成一個聰明的人提出來的）

這個問題看起來好像很愚蠢，就好像負數、0、無理數（不迴圈的數）剛開始被提出來時一定也會被認為如此愚蠢。這個問題沒有“實際”的意義，對嗎？

錯！所謂的“虛構的數字”與其他數字一樣正常：它們都是描述這個世界的工具。就像假設 -1, .3 及 0 “存在”一樣，讓我們假設有一個數字 i 存在：

就像這樣，你把 i 乘以 i 可以得到 -1。那現在發生了什麼？

當然，首先我們會感到頭痛...但是“假設 i 存在”的遊戲事實上讓數學變得更加簡單和優雅。一種我們可以更加方便地描述的新的關係就此浮現。

你也許不相信 i，就像那些固執的老數學家們一樣不相信 -1 的存在。新的、繞腦的概念都很難，不能立刻理解，即使像尤拉這樣的天才都不行。但是負數告訴我們，陌生的概念依然可以很有用。

我不喜歡“虛數”這個詞語——它被看作是一種侮辱，傷害了 i 的感情。數字 i 就跟其他一樣數字一樣正常，但是“虛數”這個名字是擺脫不了了，我們還將會用它。

圖解負數和複數

正如上次我們看到的那樣，等式 x^2=9 意味著：

或者：

x 是什麼轉換數，累乘兩次，就能把 1 變成 9？

答案有兩個：“x = 3”和 “x = -3”：也就是說，通過將其擴大 3 倍後再擴大 3 倍來實現。

現在讓我們考慮 x^2=-1，也就是

x 是什麼轉換數，累乘兩次，就能把 1 變成 -1？

• 我們不能乘以一個正數乘兩次，因為結果還是正數；

• 我們不能乘以一個負數乘兩次，因為結果在第二次乘之後會跳回至正數。

然而如果是...旋轉呢！這聽起來很瘋狂，但是如果我們想像把 x “旋轉 90 度”，乘以兩次 x 的話，即為旋轉 180 度，1 就會變成 -1。

呀！如果我們在想想，會發現將其在其他方向（順時針）旋轉兩次也能將 1 轉換為 -1。這是一個“負”旋轉或者說乘以 -i：

如果我們乘以 -i 兩次，第一次乘法會將 1 轉換成 -i，第二次將 -i 轉換成 -1。所以這裡實際上有兩個 -1 的平方根：i 和 -i。

這非常酷！我們有了某種形式的答案，但是它們意味著什麼呢？

• i 是一個“新設想出來的維度”用來衡量數字；

• i (or -i) 是數字在旋轉中“形成的”；

• 乘以 i 就是逆時針旋轉 90 度；

• 乘以 -i 就是順時針旋轉 90 度；

• 兩種旋轉在各自的方向上都是 -1：它把我們帶回了正數與負數所在的“常規”維度。

數字成二維了。這是思維的擴充，就像小數或者長除法對一個古羅馬人是思維擴充一樣。（你認為 1 和 2 之間的數字有什麼意義？）。這是一個新奇的看待數學的方式。

我們問“我們如何用兩步實現 1 轉換成 -1？”然後發現了答案：將其旋轉 90 度。這是一個新奇的看待數學的方式。但非常有用。（順帶提一下，直到 i 被發現後的數十年才有了這個關於複數的幾何解釋）。

同時也要記住逆時針旋轉變成正數是一個人類的發明——有可能還存在其它更為簡單的方式。

找到模式

讓我們深入到一點小細節中。當乘以一個負數時（就像 -1），你會得到一個模式：

• 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

-1 並沒有改變數字的大小，只改變了符號，來來回回。而對於一些數字"x"，你可以得到：

• x, -x, x, -x, x, -x...

這個概念非常有用。數字"x"可以代表一個愉快或者糟糕的一週。假設每週被分為愉快的和糟糕的，現在是愉快的一週，那麼在 47 周的時候是愉快的一週還是糟糕的一週呢？

所以 -x 意味著是糟糕的一週。注意負數是如何“保持與符號的聯絡”的——我們可以把 (-1)^47 放到計算器裡面而不用去算（“第一週愉快，第二週糟糕，第三週愉快...）。這種可以來來回回的東西可以很好地應用負數這個模型。

那好，現在如果我們持續乘以 i 會怎麼樣？

這非常有趣。讓我們簡化一點：

• 1 = 1（這裡無需簡化）

• i = i （這裡無需簡化）

• i ^ 2 = -1 (這就是 i 的全部)

• i ^ 3 = (i · i) · i = -1 · i = -i （3 次逆時針旋轉等於 1 次順時針旋轉，非常好）

• i ^ 4 = (i · ) · (i · i) = -1 · -1 = 1 (4 次旋轉帶來了一個“整圓”)

• i ^ 5 = i ^ 4 · i = 1 · i = i （這裡開始重複...)

從視覺上來看：

每次迴圈，我們旋轉 4 次。這就有意義了，對不對？任何一個小孩子都能告訴你旋轉 4 次相當於沒動。現在讓我們將精力放在虛數(i, i^2)上，觀察這個一般的模式：

• X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y...

就像負數模型那樣來回翻轉，虛數可以作為 "X" 和 "Y" 這兩個維度之間的任何東西的旋轉模型，或者是，任何只要有迴圈、環狀關係的東西——有什麼想法了嗎？

Cos it’d be a sin if you didn’t. There’ll de Moivre be more in future articles.
[譯者注：作者在這裡使用了雙關，翻譯成中文就失去了意義，此句不包含關鍵資訊]

理解複數

這裡還有一個細節要說：一個數字能既可以有“實部”又有“虛部”嗎？

當然有。誰說旋轉必須要旋轉整個 90 度？如果我們在“實部”的維度和“虛部”的維度上各走一步，看來就是這樣：

現在我們處於 45 度，在真實的部分和虛構的部分擁有相等的部分(1+i)。這就好像一個熱狗同時有芥末醬和番茄醬——誰說你必須要選擇了？

事實上，我們可以選擇任意的實部和虛部的數字來組成一個三角形。這個角度就成為了“旋轉的角度”。複數是一個有趣的名字，就是說一個數字有實部和虛部兩個部分。它們被寫作 a + bi，其中：

• a 是實部

• b 是虛部

這樣還不錯。但是有一個最後的問題：這個複數有多大呢？我們不能分開地計算實部和虛部的大小，這樣就沒有意義了。

讓我們退回一點。一個負數的大小你也不能數出來——它是距離 0 的長度，在負數中：

這是另一種求絕對值的方式。但對於複數來說，當兩個部分成 90 度時我們該如何去測量它的大小呢？

它是一隻鳥，是一架飛機，它是畢達哥拉斯！

他的定理[譯者注：勾股定理]出現在任何地方，甚至在他之後的 2000 年才發明了數字。我們製造了一種三角形，它的斜邊就是距離 0 的長度：

非常棒！儘管測量它的大小不像“丟棄掉負數的符號”那麼簡單，複數依然有它們的用處。讓我們看一下它的一個例項。

一個例項：旋轉

我們不必等到大學物理才去使用虛數，讓我們今天就來使用它。關於複數的乘法有很多可說的，但把這個記在腦海裡：

• 通過乘以一個複數來旋轉它的角度

下面讓我們一探究竟。假設我有一條船，向東 3 個單位，向北 4 個單位的方向航行。我想將我的航行方向逆時針偏轉 45 度，那麼我的新方向是多少？

一些高手會說“這很簡單！使用 sine，cosine...blabla...使用 tangent... blabla.. 以及...”。崩潰。抱歉，我打斷了你的計算了嗎？可以再重新關注一下那個問題嗎？

讓我們用一個簡單的方法：我們現在航行在 3 + 4i（不用管什麼角度，不需要關心），然後我們想偏轉 45 度。那好，45 度是 1 + i（完美的對角線）,這樣我就可以乘以這個數量！

這裡是思路：

• 初始的航行方向：向東 3 個單位，向北 4 個單位 = 3 + 4i；

• 逆時針旋轉 45 度 = 乘以 1 + i；

如果我們將它們相乘，可以得到：

所以新的航行方向是向西 1 個單位(即向東 -1 個單位)，向北 7 個單位，這樣你就能畫出來，並按照這個方向航行。

呀！我們在沒有使用 sine 或 cosine 的情況下找到這個結果只花費了 10 秒鐘。也沒有用到向量、矩陣或者追蹤我們所在的象限。它僅僅是一個使用了代數乘法的算術。旋轉規則已經深深地嵌入了虛數中：這種規則是有效的。

更好的是，這個結果是有用的。我們航行在(-1, 7)而不是一個角度（arctan(7/-1)=98.13，記住我們在第二象限）。你計劃畫出或者跟隨這個角度？在四周都用上量角器？

不行。你要把它轉換為 cosine 和 sine (-.14 和 .99)，找到一個合理的比率（大約在 1 到 7 之間），然後描繪出這個三角形。而複數可以迅速、準確，且在沒有計算器的情況下做這件事情。

如果你像我一樣，你會發現這運用了思維擴充。如果你沒有...額...恐怕數學並不適合你。對不起...

三角學很偉大，但是複數可以讓醜陋的計算變得簡單（比如計算 cosine(a+b))。這篇文章僅僅是個預覽，後續的文章會給你全餐。

另外：一些人認為“Hey，用北/東指明航行方向來替代角度指明航行方向沒有多大用處！”

不是吧？好吧。你看看你的右手。小手的中間到食指的尖端的角度是多少？自己算吧，祝你好運。

而用北/東航行法，你至少可以說：“橫向距離 X 英寸，縱向距離 Y 英寸”，這樣還有一些機會算出它的方向。

複數不“正常”

上面快速地過了一下我在複數上的基本觀點。看看文章開頭的第一個表格——現在應該能看懂了。

還有非常多美妙、好玩的數字，但是我的大腦已經很疲憊了。我的目的很簡單：

• 讓你相信複數雖然被視為“瘋狂”，但是很有用（就像曾經的負數那樣）；

• 展示了複數可以使某些問題變得簡單，比如旋轉。

如果我看起來對這個話題非常熱心和關注，這裡有個原因：我對虛數念念不忘很多年——對它缺少一種直觀的見解，這讓我很沮喪。

現在我終於有了這樣的見解，我迫不及待地去分享它們。但如果你只是在一個狂熱的人的部落格上閱讀了這篇文章，而不是在教室裡，這會讓我感到沮喪。我們束縛自己的疑問，緩緩前行——是因為我們沒有去尋找、分享一些簡潔、直觀的見解。

但點亮一支蠟燭好過詛咒黑暗：這是我的想法，而且你們的其中之一也將會發出光亮。想想看，正是我們“解決”了像數字這樣的問題才讓我們能一直停留在羅馬數字的大陸上。

後記：但是他們仍然很陌生!

我知道，複數對我來說，也依然很陌生。我試著把自己放到第一個發現 0 的人思維中。

0 是如此怪異的觀點，有“0 個東西”卻代表“沒有東西”，羅馬人避開了這個數字。複數也極其相似——它是一種新的思維方式。但是 0 和複數都讓數學變得更加簡單。如果我們從不採納陌生的、新的數字系統，我們就只能靠手指數數了。

我重複了這個類比，是因為這樣可以很輕易地去開始認為複數不“正常”。讓我們開啟思維：在未來，他們會為複數曾被不相信而輕聲地笑：儘管都已經 21 世紀了。

∑編輯 | Gemini

來源 | cnblogs

 翻譯/文之

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